Merge branch 'master' of ssh://charles/tank/andrew/school/notes
[notes.git] / spec / calculus.md
index 84764124ba5676405e7b4d15738e46af2a6b956a..3dbee28e75da1da92beea859687c16b536747287 100644 (file)
@@ -144,6 +144,7 @@ $\log_b y^{x^n} = x^n \log_b y$
 $b^{m+n}=b^m \cdot b^n$  
 $(b^m)^n=b^{m \cdot n}$  
 $(b \cdot c)^n = b^n \cdot c^n$  
+${a^m \div a^n} = {a^{m-n}}$
 
 ### $e$ as a logarithm
 
@@ -182,15 +183,33 @@ $$\int f(x) dx = F(x) + c$$
 - area enclosed by curves
 - $+c$ should be shown on each step without $\int$
 
-$$\int xn = {x^{n+1} \over n+1} + c$$
+$$\int x^n = {x^{n+1} \over n+1} + c$$
 
 ### Integral laws
 
 $\int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$  
 $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$  
 
-| $f(x)$ | $\int f(x) \cdot dx$ |
-| ------ | -------------------- |
-| $k$ (constant) | $kc + c$ |
-| $x^n (n \in J\\\{-1\})$ | ${1 \over {n+1}}x^{n+1} + c$ |
+| $f(x)$                          | $\int f(x) \cdot dx$         |
+| ------------------------------- | ---------------------------- |
+| $k$ (constant) | $kx + c$ |
+| $x^n$ | ${1 \over {n+1}}x^{n+1} + c$ |
+| $a x^{-n}$ | $a \cdot \log_e x + c$ |
+| $e^{kx}$ | ${1 \over k} e^{kx} + c$ |
+| $e^k$ | $e^kx + c$ |
+| $\sin kx$ | $-{1 \over k} \cos (kx) + c$ |
+| $\cos kx$ | ${1 \over k} \sin (kx) + c$ |
+| ${f^\prime (x)} \over {f(x)}$ | $\log_e f(x) + c$ |
+| $g^\prime(x)\cdot f^\prime(g(x)$ | $f(g(x))$ (chain rule)|
+| $f(x) \cdot g(x)$ | $\int [f^\prime(x) \cdot g(x)] dx + \int [g^\prime(x) f(x)] dx$ |
+| ${1 \over {ax+b}}$ | ${1 \over a} \log_e (ax+b) + c$ |
+| $(ax+b)^n$ | ${1 \over {a(n+1)}}(ax+b)^{n-1} + c$ |
+
+## Applications of antidifferentiation
+
+- $x$-intercepts of $y=f(x)$ identify $x$-coordinates of stationary points on $y=F(x)$
+- the nature of any stationary point of $y=F(x)$ is determined by the way the sign of the graph of $y=f(x)$ changes about its $x$-intercepts
+- if $f(x)$ is a polynomial of degree $n$, then $F(x)$ has degree $n+1$
+
+To find stationary points of a function, substitute $x$ value of given point into derivative. Solve for ${dy \over dx}=0$. Integrate to find original function.