[spec] DEs of the dependent variable
[notes.git] / methods / calculus-ref.md
index 5eb48c9bbbaa77715b281487cf1274a9d2fa6dec..e12b37e76611a8ec1714f7877ef26ab7f979510e 100644 (file)
@@ -1,35 +1,36 @@
 ---
-geometry: margin=2cm
-<!-- columns: 2 -->
-graphics: yes
-tables: yes
+geometry: a4paper, margin=2cm
+columns: 2
 author: Andrew Lorimer
+header-includes:
+- \usepackage{fancyhdr}
+- \pagestyle{fancy}
+- \fancyhead[LO,LE]{Year 12 Methods}
+- \fancyhead[CO,CE]{Andrew Lorimer}
+- \usepackage{graphicx}
+- \usepackage{tabularx}
+- \usepackage[dvipsnames, table]{xcolor}
 ---
 
-
+\linespread{3}
 \pagenumbering{gobble}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+\definecolor{cas}{HTML}{e6f0fe}
 
-
-# Methods - Calculus
+# Calculus
 
 ## Average rate of change
 
 $$m \operatorname{of} x \in [a,b] = {{f(b)-f(a)}\over {b - a}} = {dy \over dx}$$
 
-Average rate of change between $x=[a,b]$ given two points $P(a, f(a))$ and $Q(b, f(b))$ is the gradient $m$ of line $\overleftrightarrow{PQ}$
-
-On CAS: (Action|Interactive) -> Calculation -> Diff -> $f(x)$ or $y=\dots$
+\colorbox{cas}{On CAS:} Action $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ `diff`
 
 ## Instantaneous rate of change
 
-Secant - line passing through two points on a curve  
-Chord - line segment joining two points on a curve
-
-Estimated by using two given points on each side of the concerned point. Evaluate as in average rate of change.
+**Secant** - line passing through two points on a curve  
+**Chord** - line segment joining two points on a curve
 
-## Limits & continuity
-
-### Limit theorems
+## Limit theorems
 
 1. For constant function $f(x)=k$, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = k$
 2. $\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = F \pm G$
@@ -42,29 +43,51 @@ A function is continuous if $L^-=L^+=f(x)$ for all values of $x$.
 
 $$f^\prime(x)=\lim_{h \rightarrow 0}{{f(x+h)-f(x)} \over h}$$
 
+Not differentiable at:
+
+- discontinuous points
+- sharp point/cusp
+- vertical tangents ($\infty$ gradient)
+
 ## Tangents & gradients
 
 **Tangent line** - defined by $y=mx+c$ where $m={dy \over dx}$  
-**Normal line** - $\perp$ tangent ($m_{\operatorname{tan}} \cdot m_{\operatorname{norm}} = -1$)  
+**Normal line** - $\perp$ tangent ($m_{{tan}} \cdot m_{\operatorname{norm}} = -1$)  
 **Secant** $={{f(x+h)-f(x)} \over h}$
 
+## Strictly increasing/decreasing
+
+For $x_2$ and $x_1$ where $x_2 > x_1$:
+
+- **strictly increasing** where $f(x_2) > f(x_1)$  
+or $f^\prime(x)>0$
+- **strictly decreasing** where $f(x_2) < f(x_1)$  
+or $f^\prime(x)<0$
+- Endpoints are included, even where gradient $=0$
+
+\columnbreak
+
 ### Solving on CAS
 
-**In main**: type function. Interactive -> Calculation -> Line -> (Normal | Tan line)  
-**In graph**: define function. Analysis -> Sketch -> (Normal | Tan line). Type $x$ value to solve for a point. Return to show equation for line.
+\colorbox{cas}{\textbf{In main}}: type function. Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ Line $\rightarrow$ (Normal | Tan line)  
+\colorbox{cas}{\textbf{In graph}}: define function. Analysis $\rightarrow$ Sketch $\rightarrow$ (Normal | Tan line). Type $x$ value to solve for a point. Return to show equation for line.
 
 ## Stationary points
 
 Stationary where $m=0$.  
 Find derivative, solve for ${dy \over dx} = 0$
 
-![](https://cdn.edjin.com/upload/RESOURCE/IMAGE/78444.png){#id .class width=20%}
+\begin{center}
+  \includegraphics[height=3cm]{graphics/stationary-points.png}
+\end{center}
+
+**Local maximum at point $A$**
 
-**Local maximum at point $A$**  
 - $f^\prime (x) > 0$ left of $A$
 - $f^\prime (x) < 0$ right of $A$
 
-**Local minimum at point $B$**  
+**Local minimum at point $B$**
+
 - $f^\prime (x) < 0$ left of $B$
 - $f^\prime (x) > 0$ right of $B$
 
@@ -72,14 +95,28 @@ Find derivative, solve for ${dy \over dx} = 0$
 
 ## Function derivatives
 
-
-| $f(x)$ | $f^\prime(x)$ |
-| ------ | ------------- |
-| $x^n$  | $nx^{n-1}$ |
-| $kx^n$ | $knx^{n-1}$ |
-| $g(x) + h(x)$ | $g^\prime (x) + h^\prime (x)$ |
-| $c$    | $0$ |
-| ${u \over v}$ | ${{v{du \over dx} - u{dv \over dx}} \over v^2}$ |
-| $uv$ | $u{dv \over dx} + v{du \over dx}$ |
-| $f \circ g$ | ${dy \over du} \cdot {du \over dx}$ |
-
+\definecolor{shade1}{HTML}{ffffff}
+\definecolor{shade2}{HTML}{F0F9E4}
+\rowcolors{1}{shade1}{shade2}
+\begin{tabularx}{\columnwidth}{rX}
+  
+  \hline \(f(x)\) & \(f^\prime(x)\) \\ \hline
+
+  \hspace{6em} \(kx^n\) & \(knx^{n-1}\)\tabularnewline
+  \(g(x) \pm h(x)\) & \(g^\prime (x) \pm h^\prime (x)\)\tabularnewline
+  \(c\) & \(0\)\tabularnewline
+  \({u \over v}\) &
+  \({{(v{du \over dx} - u{dv \over dx}}) \div v^2}\)\tabularnewline
+  \(uv\) & \(u{dv \over dx} + v{du \over dx}\)\tabularnewline
+  \(f \circ g\) & \({dy \over du} \cdot {du \over dx}\)\tabularnewline
+  \(\sin ax\) & \(a\cos ax\)\tabularnewline
+  \(\sin(f(x))\) & \(f^\prime(x) \cdot \cos(f(x))\)\tabularnewline
+  \(\cos ax\) & \(-a \sin ax\)\tabularnewline
+  \(\cos(f(x))\) & \(f^\prime(x)(-\sin(f(x)))\) \\
+  \(e^{ax}\) & \(ae^{ax}\)\tabularnewline
+  \(\log_e {ax}\) & \(1 \over x\)\tabularnewline
+  \(\log_e f(x)\) & \(f^\prime (x) \over f(x)\)\tabularnewline
+  
+  \hline
+
+\end{tabularx}