[spec] clean up
[notes.git] / spec / dynamics.tex
index e22575b2f61b1945861644d505f4a40a0feb3a43..ac373c314afc99003ad741aa060975bb61a8c4bb 100644 (file)
-\documentclass[a4paper, tikz]{article}
-\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
-\usepackage{array}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{tcolorbox}
-\usepackage{fancyhdr}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{arrows,
-    calc,
-    decorations,
-    scopes,
-}
-\usepackage{tabularx}
-\usepackage{keystroke}
-\usepackage{listings}
-\usepackage{xcolor} % used only to show the phantomed stuff
-\definecolor{cas}{HTML}{e6f0fe}
+\documentclass[spec-collated.tex]{subfiles}
+\begin{document}
 
-\pagestyle{fancy}
-\fancyhead[LO,LE]{Year 12 Specialist - Dynamics}
-\fancyhead[CO,CE]{Andrew Lorimer}
+\section{Dynamics}
 
-\setlength\parindent{0pt}
+\subsection*{Resolution of forces}
 
-\begin{document}
+\textbf{Resultant force} is sum of force vectors
 
-  \title{Dynamics}
-  \author{}
-  \date{}
-  \maketitle
+\subsubsection*{In angle-magnitude form}
 
-  \section{Resolution of forces}
+\makebox[3cm]{Cosine rule:} \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)
+\makebox[3cm]{Sine rule:} \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
 
-  \textbf{Resultant force} is sum of force vectors
+\subsubsection*{In \(\boldsymbol{i}\)---\(\boldsymbol{j}\) form}
 
-  \subsection{In angle-magnitude form}
+Vector of \(a\) N at \(\theta\) to \(x\) axis is equal to \(a \cos \theta \boldsymbol{i} + a \sin \theta \boldsymbol{j}\). Convert all force vectors then add.
 
-  \makebox[3cm]{Cosine rule:} \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)
-  \makebox[3cm]{Sine rule:} \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
-  
-  \subsection{In \(\boldsymbol{i}\)---\(\boldsymbol{j}\) form}
+To find angle of an \(a\boldsymbol{i} + b\boldsymbol{j}\) vector, use \(\theta = \tan^{-1} \frac{b}{a}\)
 
-  Vector of \(a\) N at \(\theta\) to \(x\) axis is equal to \(a \cos \theta \boldsymbol{i} + a \sin \theta \boldsymbol{j}\). Convert all force vectors then add.
+\subsubsection*{Resolving in a given direction}
 
-  To find angle of an \(a\boldsymbol{i} + b\boldsymbol{j}\) vector, use \(\theta = \tan^{-1} \frac{b}{a}\)
+The resolved part of a force \(P\) at angle \(\theta\) is has magnitude \(P \cos \theta\)
 
-  \subsection{Resolving in a given direction}
+To convert force \(||\vec{OA}\) to angle-magnitude form, find component \(\perp\vec{OA}\) then:
+\begin{align*}
+  |\boldsymbol{r}| &= \sqrt{\left(||\vec{OA}\right)^2 + \left(\perp\vec{OA}\right)^2} \\
+  \theta &= \tan^{-1}\dfrac{\perp\vec{OA}}{||\vec{OA}}
+\end{align*}
 
-  The resolved part of a force \(P\) at angle \(\theta\) is has magnitude \(P \cos \theta\)
+\subsection*{Newton's laws}
 
-  \section{Newton's laws}
-  
-  \begin{enumerate}
-    \item Velocity is constant without a net external velocity
+\begin{tcolorbox}
+  \begin{enumerate}[leftmargin=1mm]
+    \item Velocity is constant without \(\Sigma F\)
     \item \(\frac{d}{dt} \rho \propto \Sigma F \implies \boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\)
     \item Equal and opposite forces
   \end{enumerate}
+\end{tcolorbox}
+
+\subsubsection*{Weight}
+A mass of \(m\) kg has force of \(mg\) acting on it
+
+\subsubsection*{Momentum \(\rho\)}
+\[ \rho = mv \tag{units kg m/s or Ns} \]
+
+\subsubsection*{Reaction force \(R\)}
+
+\begin{itemize}
+  \item With no vertical velocity, \(R=mg\)
+  \item With vertical acceleration, \(|R|=m|a|-mg\)
+  \item With force \(F\) at angle \(\theta\), then \(R=mg-F\sin\theta\)
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Friction}
+
+\[ F_R = \mu R \tag{friction coefficient} \]
+
+\subsection*{Inclined planes}
+
+\[ \boldsymbol{F} = |\boldsymbol{F}| \cos \theta \boldsymbol{i} + |\boldsymbol{F}| \sin \theta \boldsymbol{j} \]
+\begin{itemize}
+  \item Normal force \(R\) is at right angles to plane
+  \item Let direction up the plane be \(\boldsymbol{i}\) and perpendicular to plane \(\boldsymbol{j}\)
+\end{itemize}
+
+\def\iangle{30} % Angle of the inclined plane
+
+\def\down{-90}
+\def\arcr{0.5cm} % Radius of the arc used to indicate angles
+
+\tikzset{
+  force/.style={->,draw=blue,fill=blue, thick},
+  axis/.style={densely dashed,gray,font=\small},
+  M/.style={rectangle,draw,fill=lightgray,minimum size=0.5cm,thin},
+  m/.style={rectangle,draw=black,fill=lightgray,minimum size=0.3cm,thin},
+  plane/.style={draw=black,fill=blue!10},
+  string/.style={draw=red, thick},
+  pulley/.style={thick}
+}
+\tikzset{
+  % style to apply some styles to each segment of a path
+  on each segment/.style={
+    decorate,
+    decoration={
+      show path construction,
+      moveto code={},
+      lineto code={
+        \path [#1]
+        (\tikzinputsegmentfirst) -- (\tikzinputsegmentlast);
+      },
+      closepath code={
+        \path [#1]
+        (\tikzinputsegmentfirst) -- (\tikzinputsegmentlast);
+      },
+    },
+  },
+  % style to add an arrow in the middle of a path
+  mid arrow/.style={postaction={decorate,decoration={
+        markings,
+        mark=at position .5 with {\arrow[#1]{stealth}}
+      }}},
+}
+  \begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
+
+    \pgfmathsetmacro{\Fnorme}{2}
+    \pgfmathsetmacro{\Fangle}{30}
+
+    \begin{scope}[rotate=\iangle]
+      \node[M,transform shape] (M) {};
+      \coordinate (xmin) at ($(M.south west)-({abs(1.1*\Fnorme*sin(-\Fangle))},0)$);
+      \coordinate (xmax) at ($(M.south east)+({abs(1.1*\Fnorme*sin(-\Fangle))},0)$);
+      \coordinate (ymax) at ($(M.center)+(0,{cos(\Fangle)})$);
+      \coordinate (ymin) at ($(M.center)-(0,{cos(\Fangle)})$);
+      \coordinate (axiscentre) at ($(M.south)+(0.5cm, 0.5cm)$);
+      \draw[postaction={decorate, decoration={border, segment length=4pt, angle=-45},draw,red}] (xmin) -- (xmax);
+      \coordinate (fr) at ($(M.center)+({\Fnorme*sin(-\Fangle)}, 0)$);
+      {[axis,->]
+      \draw ($(M)+(1,0)$) -- ($(M)+(1.5,0)$) node[above right] {\(\boldsymbol{i}\)};
+      \draw ($(M)+(1,0)$) -- ($(M)+(1,0.5)$) node[above right] {\(\boldsymbol{j}\)};
+      }
+      {[force,->]
+        \draw (M.center) -- (ymax) node [right] {\(R\)};
+        \draw (M.center) -- (fr) node [left] {\(\mu R\)};
+      }
+    \end{scope}
+    \draw[force,->] (M.center) -- ++(0,-1) node[below] {$mg$};
+    \draw (xmin)+(0:\arcr) arc [start angle=0, end angle=\iangle, radius=\arcr] node [right, midway] {\footnotesize\(\theta\)};
+      \coordinate (xbottom) at ($(1, {4*\Fnorme*-cos(\Fangle)})$);
+      \draw [->] (xmin) -- ++($({1.35*\Fnorme*cos(\Fangle)}, 0)$);
+      \begin{scope}[darkgray, rotate=\iangle] \path [draw=darkgray, postaction={on each segment={mid arrow}}] (M.center) -- (ymin) node [pos=0.5, right] {\(mg \cos \theta\)} -- ++(-0.5,0) node[pos=0.5, below right] {\(mg \sin \theta\)};
+      \end{scope}
+  \end{tikzpicture}\end{center}
+
+\subsection*{Connected particles}
+
+\def\boxwidth{0.5}
+\tikzset{
+  box/.style={rectangle,draw,fill=lightgray,minimum width=\boxwidth,thin},
+  m/.style={rectangle,draw=black,fill=lightgray,minimum size=\boxwidth, thin}
+}
+
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
+
+    \matrix {
+      \begin{scope}[scale=1.5]
+
+        \coordinate (O) at (0,0);
+        \coordinate (A) at ($({3*cos(\iangle)},{3*sin(\iangle)})$);
+        \coordinate (B) at ($({3*cos(\iangle)},0)$);
+        \coordinate (C) at ($({(1.5-0.5*\boxwidth)*cos(\iangle)},{(1.5-0.5*\boxwidth)*sin(\iangle)})$); % centre of box
+        \coordinate (D) at ($(C)+(\iangle:\boxwidth)$);
+        \coordinate (E) at ($(D)+(90+\iangle:0.5*\boxwidth)$);
+        \coordinate (F) at ($(B)+(0,{1.5*sin(\iangle)})$);
+        \coordinate (X) at ($(A)+(\iangle:0.5*\boxwidth)$); % centre of pulley
+        \coordinate (Y) at ($(X)+(90+\iangle:0.5*\boxwidth)$); % chord of pulley
+
+        \draw[plane] (O) -- (A) -- (B) -- (O);
+        \draw (O)+(\arcr,0) arc [start angle=0,end angle=\iangle,radius=\arcr] node [right, pos=.75] {\footnotesize\(\theta\)};
+
+        \draw [rotate=\iangle, m] (C) rectangle ++(\boxwidth,\boxwidth) node (z) [rotate=\iangle, midway] {\(m_1\)};
+        \draw [pulley] (A) -- (X) ++(0.5*\boxwidth, 0) arc[rotate=\iangle, start angle=0, delta angle=360, x radius=0.25, y radius=0.25] node(r) [midway, rotate=\iangle] {};
+        \draw [string] (E) -- (Y) arc (90+\iangle:0:0.25) -- ++($(0,{-1.5*sin(\iangle)-\boxwidth})$) node (p) {};
+        \coordinate (Z) at ($(p.center)+({-0.5*\boxwidth},0)$);
+        \draw [m] (Z) rectangle ++(\boxwidth, \boxwidth) node [midway] {\(m_2\)};
+
+      \end{scope}
+\\
+
+      \begin{scope}[rotate=\iangle, scale=1.5]
+
+        \draw [m] ++(-0.5*\boxwidth,-0.5*\boxwidth) rectangle ++(\boxwidth,\boxwidth) node (n) [rotate=\iangle, midway] {\(m_1\)};
+
+        {[axis,-]
+          \draw (0,-1) -- (0,0);
+          \draw[solid,shorten >=0.5pt] (\down-\iangle:\arcr) arc(\down-\iangle:\down:\arcr);
+          \node at (\down-0.5*\iangle:1.3*\arcr) {\(\theta\)};
+        }
+
+        {[force,->]
+          \draw (n.center) -- ++(0,{cos(\iangle)}) node[above right] {\(R_1\)};
+          \draw (n.west) -- ++(-0.5,0) node[left] {\(\mu R_1\)};
+          \draw (n.east) -- ++(1,0) node[above] {\(T_1\)};
+        }
+
+        \draw[force,->, rotate=-\iangle] (M.center) -- ++(0,-1) node[below] {\(m_1 g\)};
+
+      \end{scope}
+
+      &
+      \begin{scope}[scale=1.5]
+
+      \draw [m] ++(-0.5*\boxwidth,-0.5*\boxwidth) rectangle ++(\boxwidth,\boxwidth) node [midway] {\(m_2\)};
+
+      {[force,->]
+        \draw (0,0.5*\boxwidth) -- ++(0,1) node[above] {\(T_2\)};
+        \draw (0,-0.5*\boxwidth) -- ++(0,-1) node[right] {\(m_2 g\)};
+      }
+      \end{scope}
+      \\
+    };
+  \end{tikzpicture}
+  \end{center}
+
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Suspended pulley:} tension in both sections of rope are equal \\
+    \(|a| = g \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\) where \(m_1\) accelerates down \\
+    With tension:
+    \[ \begin{cases}m_1 g - T = m_1 a\\ T - m_2 g = m_2 a\end{cases} \\ \implies m_1 g - m_2 g = m_1 a + m_2 a \]
+  \item \textbf{String pulling mass on inclined pane:} Resolve parallel to plane
+    \[ T-mg \sin \theta = ma \]
+  \item \textbf{Linear connection:} find acceleration of system first
+  \item \textbf{Pulley on right angle:} \(a = \frac{m_2g}{m_1+m_2}\) where \(m_2\) is suspended (frictionless on both surfaces)
+  \item \textbf{Pulley on edge of incline:} find downwards force \(W_2\) and components of mass on plane
+\end{itemize}
+
+\begin{tabular}{rl}
+  \parbox[t][][t]{8em}{In this example, note \(T_1 \ne T_2\):} &
+  \parbox{12em}{
+  \begin{tikzpicture}
+
+      \begin{scope}
+
+        \coordinate (O) at (0,0);
+        \coordinate (A) at ($({3*cos(\iangle)},{3*sin(\iangle)})$);
+        \coordinate (B) at ($({3*cos(\iangle)},0)$);
+        \coordinate (C) at ($({(1-0.25*\boxwidth)*cos(\iangle)},{(1-0.25*\boxwidth)*sin(\iangle)})$); % centre of box
+        \coordinate (D) at ($(C)+(\iangle:\boxwidth)$);
+        \coordinate (E) at ($(D)+(90+\iangle:0.5*\boxwidth)$);
+        \coordinate (F) at ($(B)+(0,{1.5*sin(\iangle)})$);
+        \coordinate (G) at ($(A)+(\iangle:-2*\boxwidth)$);
+        \coordinate (H) at ($(G)+(90+\iangle:0.5*\boxwidth)$);
+        \coordinate (I) at ($(H)+(\iangle:-0.5*\boxwidth)$);
+        \coordinate (J) at ($(H)+(\iangle:\boxwidth)$);
+        \coordinate (X) at ($(A)+(\iangle:0.5*\boxwidth)$); % centre of pulley
+        \coordinate (Y) at ($(X)+(90+\iangle:0.5*\boxwidth)$); % chord of pulley
+
+        \draw[plane] (O) -- (A) -- (B) -- (O);
+        \draw (O)+(\arcr,0) arc [start angle=0,end angle=\iangle,radius=\arcr] node [right, pos=.75] {\footnotesize\(\theta\)};
+
+        \draw [rotate=\iangle, m] (C) rectangle ++(\boxwidth,\boxwidth) node (z) [rotate=\iangle, midway, font=\footnotesize] {\(m_1\)};
+        \draw [rotate=\iangle, m] (G) rectangle ++(\boxwidth,\boxwidth) node (l) [rotate=\iangle, midway, font=\footnotesize] {\(m_2\)};
+        \draw [pulley] (A) -- (X) ++(0.5*\boxwidth, 0) arc[rotate=\iangle, start angle=0, delta angle=360, x radius=0.25, y radius=0.25] node(r) [midway, rotate=\iangle] {};
+        \draw [string] (E) -- (H) node [midway, above, font=\footnotesize, rotate=\iangle] {\(T_2\)};
+        \draw [string] (J) -- (Y) node [midway, above, font=\footnotesize, rotate=\iangle] {\(T_1\)} arc (90+\iangle:0:0.25) -- ++($(0,{-1.5*sin(\iangle)})$) node [midway, above right, font=\footnotesize] {\(T_1\)} node[m] {\(m_3\)};
+
+      \end{scope}
+
+  \end{tikzpicture}}
+\end{tabular}
+
+\subsection*{Equilibrium}
+
+\[ \dfrac{A}{\sin a} = \dfrac{B}{\sin b} = \dfrac{C}{\sin c} \tag{Lami's theorem}\]
+\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \tag{cosine rule} \]
+
+Three methods:
+\begin{enumerate}
+  \item Lami's theorem (sine rule)
+  \item Triangle of forces (cosine rule)
+  \item Resolution of forces (\(\Sigma F = 0\) - simultaneous)
+\end{enumerate}
+
+  \begin{cas}
+    \textbf{To verify:} Geometry tab, then select points with normal cursor. Click right arrow at end of toolbar and input point, then lock known constants.
+  \end{cas}
+
+\subsection*{Variable forces (DEs)}
 
-  \subsection{Weight}
-  A mass of \(m\) kg has force of \(mg\) acting on it
-
-  \subsection{Momentum \(\rho\)}
-  \[ \rho = mv \tag{units kg m/s or Ns} \]
-
-  \subsection{Reaction force \(R\)}
-
-  \begin{itemize}
-    \item With no vertical velocity, \(R=mg\)
-    \item With upwards acceleration, \(R-mg=ma\)
-    \item With force \(F\) at angle \(\theta\), then \(R=mg-F\sin\theta\)
-  \end{itemize}
-
-  \subsection{Friction}
-
-  \[ F_R = \mu R \tag{friction coefficient} \]
-
-  \section{Inclined planes}
-
-  \[ \boldsymbol{F} = |\boldsymbol{F}| \cos \theta \boldsymbol{i} + |\boldsymbol{F}| \sin \theta \boldsymbol{j} \]
- \def\iangle{30} % Angle of the inclined plane
-
-    \def\down{-90}
-    \def\arcr{0.5cm} % Radius of the arc used to indicate angles
-
-\begin{tikzpicture}[
-        >=latex',
-        scale=1,
-        force/.style={->,draw=blue,fill=blue},
-        axis/.style={densely dashed,gray,font=\small},
-        M/.style={rectangle,draw,fill=lightgray,minimum size=0.5cm,thin},
-        m/.style={rectangle,draw=black,fill=lightgray,minimum size=0.3cm,thin},
-        plane/.style={draw=black,fill=blue!10},
-        string/.style={draw=red, thick},
-        pulley/.style={thick},
-        ]
-        \pgfmathsetmacro{\Fnorme}{2}
-        \pgfmathsetmacro{\Fangle}{30}
-        \begin{scope}[rotate=\iangle]
-            \node[M,transform shape] (M) {};
-            \coordinate (xmin) at ($(M.south west)-({abs(1.1*\Fnorme*sin(-\Fangle))},0)$);
-            \coordinate (xmax) at ($(M.south east)+({abs(1.1*\Fnorme*sin(-\Fangle))},0)$);
-            \coordinate (ymax) at ($(M.north)+(0, {abs(1.1*\Fnorme*cos(-\Fangle))})$);
-            \coordinate (ymin) at ($(M.south)-(0, 1cm)$);
-            \coordinate (axiscentre) at ($(M.south)+(0.5cm, 0.5cm)$);
-            \draw[postaction={decorate, decoration={border, segment length=2pt, angle=-45},draw,red}] (xmin) -- (xmax);
-            \coordinate (N) at ($(M.center)+(0,{\Fnorme*cos(-\Fangle)})$);
-            \coordinate (fr) at ($(M.center)+({\Fnorme*sin(-\Fangle)}, 0)$);
-            % Draw axes and help lines
-
-            {[axis,->]
-                \draw (ymin) -- (ymax) node[right] {\(\boldsymbol{j}\)};
-                \draw (M) --(M-|xmax) node[right] {\(\boldsymbol{i}\)};    % mental note for me: change "right" to "above"
-            }
-
-            % Forces
-            {[force,->]
-                % Assuming that Mg = 1. The normal force will therefore be cos(alpha)
-                \draw (M.center) -- (N) node [right] {\(R\)};
-                \draw (M.center) -- (fr) node [left] {\(\mu R\)};
-            }
-%            \draw [densely dotted, gray] (fr) |- (N) node [pos=.25, left] {\tiny$\lVert \vec F\rVert\cos\theta$} node [pos=.75, above] {\tiny$\lVert \vec F\rVert\sin\theta$};
-        \end{scope}
-        % Draw gravity force. The code is put outside the rotated
-        % scope for simplicity. No need to do any angle calculations. 
-        \draw[force,->] (M.center) -- ++(0,-1) node[below] {$mg$};
-        \draw (M.center)+(-90:\arcr) arc [start angle=-90,end angle=\iangle-90,radius=\arcr] node [below, pos=.5] {\tiny\(\theta\)};
-    \end{tikzpicture}
-
-  \subsection{Connected particles}
-
-  \begin{itemize}
-    \item \textbf{Suspended pulley:} tension in both sections of rope are equal
-    \item \textbf{Linear connection:} find acceleration of system first
-    \item \textbf{Pulley on edge of incline:} find downwards force \(W_2\) and components of mass on plane
-  \end{itemize}
+\[ a = \dfrac{d^2x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} = v\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} v^2 \right) \]
 
 \end{document}