Merge branch 'master' of ssh://charles/tank/andrew/school/notes
[notes.git] / physics / final.tex
index d988bac602c5bbfb8bc46e5f672801370d69775d..57f04de7456fce6a0140ddc4e990ef732cdf8991 100644 (file)
@@ -9,6 +9,8 @@
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{wrapfig}
 \usepackage{enumitem}
+\usepackage{supertabular}
+\usepackage{tabularx}
 \setitemize{noitemsep,topsep=0pt,parsep=0pt,partopsep=0pt,leftmargin=5pt}
 
 
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Motion}
 
-  $\operatorname{m/s} \times 3.6 = \operatorname{km/h}$
+  $\operatorname{m/s} \, \times \, 3.6 = \operatorname{km/h}$
 
   \subsection*{Inclined planes}
-    $F = m g \sin\theta F_{frict} = m a$
+    $F = m g \sin\theta - F_{\text{frict}} = m a$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Banked tracks}
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/banked-track.png}
 
-    $$\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$$
+    $\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$
 
-    $\Sigma F$ always acts towards centre, but not necessarily horizontally
+    $\Sigma F$ always acts towards centre (horizontally)
 
     $\Sigma F = F_{\operatorname{norm}} + F_{\operatorname{g}}={{mv^2} \over r} = mg \tan \theta$
 
     Design speed $v = \sqrt{gr\tan\theta}$
 
+    $n\sin \theta = {mv^2 \div r}, \quad n\cos \theta = mg$
+
 % -----------------------
   \subsection*{Work and energy}
 
-    $W=Fx=\Delta \Sigma E$ (work)
+    $W=Fs=Fs \cos \theta=\Delta \Sigma E$
 
     $E_K = {1 \over 2}mv^2$ (kinetic)
 
 
     $T-mg = {{mv^2} \over r}$ at lowest point
 
+    $E_K_{\text{bottom}}=E_K_{\text{top}}+mgh$
+
 % -----------------------
   \subsection*{Projectile motion}
     \begin{itemize}
-      \item{horizontal component of velocity is constant if no air resistance}
-      \item{vertical component affected by gravity: $a_y = -g$}
+      \item $v_x$ is constant: $v_x = {s \over t}$
+      \item use suvat to find $t$ from $y$-component
+      \item vertical component gravity: $a_y = -g$
     \end{itemize}
 
-    \begin{align*}
-      v=\sqrt{v^2_x + v^2_y} \tag{vectors} \\
-      h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g} \tag{max height}\\
-      x=ut\cos\theta \tag{$\Delta x$ at $t$} \\
-      y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2 \tag{height at $t$} \\
-      t={{2u\sin\theta}\over g} \tag{time of flight}\\
-      d={v^2 \over g}\sin \theta \tag{horiz. range} \\
-    \end{align*}
+    \begin{align*}
+      $v=\sqrt{v^2_x + v^2_y}$ \hfill vectors \\
+      $h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g}$ \hfill max height \\
+      $x=ut\cos\theta$ \hfill $\Delta x$ at $t$ \\
+      $y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2$ \hfill height at $t$ \\
+      $t={{2u\sin\theta}\over g}$ \hfill time of flight \\
+      $d={v^2 \over g}\sin \theta$ \hfill horiz. range \\
+    \end{align*}
 
     \includegraphics[height=3.2cm]{graphics/projectile-motion.png}
 
 % -----------------------
   \subsection*{Hooke's law}
 
-  $F=-kx$
+  $F=-kx$ (intercepts origin)
+
+  $\text{elastic potential energy} = {1 \over 2}kx^2$
 
-  $E_{elastic} = {1 \over 2}kx^2$
+  $x={2mg \over k}$
+
+  Vertical: $\Delta E = {1 \over 2}kx^2 + mgh
 
 % -----------------------
   \subsection*{Motion equations}
 
     \begin{tabular}{ l r }
+      & no \\
       $v=u+at$ & $x$ \\
       $x = {1 \over 2}(v+u)t$ & $a$ \\
       $x=ut+{1 \over 2}at^2$ & $v$ \\
 
     $\operatorname{impulse} = \Delta \rho, \quad F \Delta t = m \Delta v$
 
-    $\Sigma mv_0=\Sigma mv_1$ (conservation)
+    $\Sigma (mv_0)=(\Sigma m)v_1$ (conservation)
+
+    % $\Sigma E_{K \operatorname{before}} = \Sigma E_{K \operatorname{after}}$ if elastic
+
+    % $\Sigma E_K = \Sigma ({1 \over 2} m v^2) = {1 \over 2} (\Sigma m)v_f$
 
-    $\Sigma E_{K \operatorname{before}} = \Sigma E_{K \operatorname{after}}$ if elastic
+    if elastic:
+    $$\sum _{i{\mathop {=}}1}^{n}E_K (i)=\sum _{i{\mathop {=}}1}^{n}({1 \over 2}m_i v_{i0}^2)={1 \over 2}\sum _{i{\mathop {=}}1}^{n}(m_i) v_f^2$$
 
-    $n$-body collisions: $\rho$ of each body is independent
+    $n$-body collisions: $\rho$ of each body is independent
 
 % ++++++++++++++++++++++
 \section{Relativity}
 
     2. Speed of light $c$ is the same to all observers (Michelson-Morley)
 
-    $\therefore , t$ must dilate as speed changes
+    $\therefore \, t$ must dilate as speed changes
+
+    {\bf high-altitude particles:} $t$ dilation means more particles reach Earth than expected (half-life greater when obs. from Earth)
 
     {\bf Inertial reference frame} $a=0$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Lorentz factor}
 
-    $$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}$$
+    $$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}, \quad v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
 
     $t=t_0 \gamma$ ($t$ longer in moving frame)
 
 
     $m=m_0 \gamma$ (mass dilation)
 
-    $$v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
-
 % -----------------------
   \subsection*{Energy and work}
 
-    $E_0 = mc^2$ (rest)
+    $E_{\text{rest}} = mc^2, \quad E_K = (\gamma-1)mc^2$
 
-    $E_{total} = E_K + E_{rest} = \gamma mc^2$
+    $E_{\text{total}} = E_K + E_{\text{rest}} = \gamma mc^2$
 
-    $E_K = (\gamma 1)mc^2$
-
-    $W = \Delta E = \Delta mc^2$
+    $W = \Delta E = \Delta mc^2=(\gamma-1)m_{\text{rest}} c^2$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Relativistic momentum}
     $$v={\rho \over {m\sqrt{1+{p^2 \over {m^2 c^2}}}}}$$
 
 % -----------------------
-  \subsection*{High-altitude muons}
-    \begin{itemize}
-      {\item $t$ dilation more muons reach Earth than expected}
-      {\item normal half-life $2.2 \operatorname{\mu s}$ in stationary frame, $> 2.2 \operatorname{\mu s}$ observed from Earth}
-    \end{itemize}
 
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Fields and power}
 
   \subsection*{Non-contact forces}
     \begin{itemize}
-      {\item electric fields (dipoles \& monopoles)}
-      {\item magnetic fields (dipoles only)}
-      {\item gravitational fields (monopoles only)}
+      {\item electric (dipoles \& monopoles)}
+      {\item magnetic (dipoles only)}
+      {\item gravitational (monopoles only, $F_g=0$ at mid, attractive only)}
     \end{itemize}
 
     \vspace{1em}
 
     \begin{itemize}
       \item monopoles: lines towards centre
-      \item dipoles: field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (or perpendicular to wire)
+      \item dipoles: field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (two magnets) or $\rightarrow$ N (single)
       \item closer field lines means larger force
       \item dot: out of page, cross: into page
       \item +ve corresponds to N pole
     \end{itemize}
 
     \includegraphics[height=2cm]{graphics/field-lines.png}
+    % \includegraphics[height=2cm]{graphics/bar-magnet-fields-rotated.png}
 
 % -----------------------
   \subsection*{Gravity}
 % -----------------------
   \subsection*{Satellites}
 
-    \[v=\sqrt{Gm_{\operatorname{planet}} \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}\]
+    \[v=\sqrt{GM \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}\]
 
-    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^2} \over {GM}}\tag{period}\]
+    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^3 \over {GM}}}\tag{period}\]
 
-    \[\sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}\]
+    \[r = \sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}\]
 
 % -----------------------
   \subsection*{Magnetic fields}
 
     \[F=qvB\tag{$F$ on moving $q$}\]
     \[F=IlB\tag{$F$ of $B$ on $I$}\]
+    \[B={mv \over qr}\tag{field strength on e-}\]
     \[r={mv \over qB} \tag{radius of $q$ in $B$}\]
 
     if $B {\not \perp} A, \Phi \rightarrow 0$ \hspace{1em}, \hspace{1em} if $B \parallel A, \Phi = 0$
 % -----------------------
   \subsection*{Electric fields}
 
-    \[F=qE \tag{$E$ = strength} \]
+    \[F=qE(=ma) \tag{strength} \]
     \[F=k{{q_1q_2}\over r^2}\tag{force between $q_{1,2}$} \]
     \[E=k{q \over r^2} \tag{field on point charge} \]
     \[E={V \over d} \tag{field between plates}\]
     \[F=BInl \tag{force on a coil} \]
     \[\Phi = B_{\perp}A\tag{magnetic flux} \]
-    \[\mathcal{E} = -N{{\Delta \Phi}\over{\Delta t}} \tag{induced emf} \]
+    \[\mathcal{E} = -N{{\Delta \Phi}\over{\Delta t}} = Blv\tag{induced emf} \]
     \[{V_p \over V_s}={N_p \over N_s}={I_s \over I_p} \tag{xfmr coil ratios} \]
 
-    \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$
+    \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$ \\
+    (emf creates $I$ with associated field that opposes $\Delta \Phi$)
 
     \textbf{Eddy currents:} counter movement within a field
 
     \textbf{Right hand grip:} thumb points to $I$ (single wire) or N (solenoid / coil)
 
-    \textbf{Right hand slap:} $B \perp I \perp F$
+    \includegraphics[height=2cm]{graphics/slap-2.jpeg}
+    \includegraphics[height=3cm]{graphics/grip.png}
+
+    % \textbf{Right hand slap:} $B \perp I \perp F$ \\
+    % ($I$ = thumb)
+
+    \includegraphics[width=\columnwidth]{graphics/lenz.png}
 
-    \textbf{Flux-time graphs:} $m \times n = \operatorname{emf}$
+    \textbf{Flux-time graphs:} $m \times n = \operatorname{emf}.$
+    If $f$ increases, ampl. \& $f$ of $\mathcal{E}$ increase
 
-    \textbf{Transformers:} core strengthens \& focuses $\Phi$
+    \textbf{Xfmr} core strengthens \& focuses $\Phi$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Particle acceleration}
     \[W={1\over2}mv^2=qV \tag{field or points}\]
     \[v=\sqrt{{2qV} \over {m}}\tag{velocity of particle}\]
 
+    Circular path: $F\perp B \perp v$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Power transmission}
 % \begin{wrapfigure}{r}{-0.1\textwidth}
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/dc-motor-2.png}
-      \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+    \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+
+    Force on current-carying wire, not copper \\
+    $F=0$ for front & back of coil (parallel) \\
+    Any angle $> 0$ will produce force \\
 % \end{wrapfigure}
     \textbf{DC:} split ring (two halves)
 
 % \end{wrapfigure}
     \textbf{AC:} slip ring (separate rings with constant contact)
 
+% \pagebreak
+
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Waves}
 
-  \textbf{nodes:} fixed on graph
-  \textbf{amplitude:} max displacement from $y=0$
-  \textbf{rarefactions} (expansions) / \textbf{compressions}
-  \textbf{mechanical:} transfer of energy without net transfer of matter
-  
+  \textbf{nodes:} fixed on graph \\
+  \textbf{amplitude:} max disp. from $y=0$ \\
+  \textbf{rarefactions} and \textbf{compressions} \\
+  \textbf{mechanical:} transfer of energy without net transfer of matter \\
+
 
   \textbf{Longitudinal (motion $||$ wave)}
   \includegraphics[width=6cm]{graphics/longitudinal-waves.png}
   \includegraphics[width=6cm]{graphics/transverse-waves.png}
 
   % -----------------------
-  \subsection*{Motors}
   $T={1 \over f}\quad$(period: time for one cycle)
   $v=f \lambda \quad$(speed: displacement / sec)
+  $f={c \over \lambda}\quad\hspace{0.7em}$(for $v=c$)
 
   % -----------------------
   \subsection*{Doppler effect}
+
   When $P_1$ approaches $P_2$, each wave $w_n$ has slightly less distance to travel than $w_{n-1}$. $w_n$ reaches observer sooner than $w_{n-1}$ ("apparent" $\lambda$).
 
   % -----------------------
   \subsection*{Interference}
-  When a medium changes character, energy is reflected, absorbed, and transmitted
+
+  \includegraphics[width=4.5cm]{graphics/poissons-spot.png} \\
+  Poissons's spot supports wave theory (circular diffraction)
+
+  \textbf{Standing waves} - constructive int. at resonant freq. Rebound from ends.
+
+  \textbf{Coherent } - identical frequency, phase, direction (ie strong & directional). e.g. laser
+
+  \textbf{Incoherent} - e.g. incandescent/LED
+
+
+
+
+
+  % -----------------------
+  \subsection*{Harmonics}
+
+  1st harmonic = fundamental
+
+  \textbf{for nodes at both ends:} \\
+  \(\hspace{2em} \lambda = {{2l} \div n}\)
+  \(\hspace{2em} f = {nv \div 2l} \)
+
+  \textbf{for node at one end ($n$ is odd):} \\
+  \(\hspace{2em} \lambda = {{4l} \div n}\)
+  \(\hspace{2em} f = {nv \div 4l} \) \\
+  alternatively, $\lambda = {4l \over {2n-1}}$ where $n\in \mathbb{Z}$ and $n+1$ is the next possible harmonic
+
+
+  % \(a=2\) for nodes at both ends, \\ \(a=4\) for node at one end
 
   % -----------------------
   \subsection*{Polarisation}
-  \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/polarisation.png}
+  \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/polarisation.png} \\
+  Transverse only. Reduces total $A$.
+
+  % -----------------------
+  \subsection*{Diffraction}
+  \includegraphics[width=6cm]{graphics/diffraction.jpg}
+  \includegraphics[width=6cm]{graphics/diffraction-2.png}
+  \begin{itemize}
+    % \item \(pd = |S_1P-S_2P|\) for \(p\) on screen
+    \item Constructive: \(pd = n\lambda, n \in \mathbb{Z}\)
+    \item Destructive: \(pd = (n-{1 \over 2})\lambda, n \in \mathbb{Z}\)
+    \item Path difference: \(\Delta x = {{\lambda l }\over d}\) where \\
+    % \(\Delta x\) = fringe spacing \\
+    \(l\) = distance from source to observer\\
+    \(d\) = separation between each wave source (e.g. slit) \(=S_1-S_2\)
+    \item diffraction $\propto {\lambda \over d}$
+    \item significant diffraction when ${\lambda \over \Delta x} \ge 1$
+    \item diffraction creates distortion (electron $>$ optical microscopes)
+  \end{itemize}
+
 
   % -----------------------
   \subsection*{Refraction}
   \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/refraction.png}
 
-  Angle of incidence $\theta_i =$ angle of reflection $\theta_r$
+  When a medium changes character, light is \emph{reflected}, \emph{absorbed}, and \emph{transmitted}
 
-  Critical angle $\theta_c = \sin^-1{n_2 \over n_1}$
+  angle of incidence $\theta_i =$ angle of reflection $\theta_r$
+
+  Critical angle $\theta_c = \sin^{-1}{n_2 \over n_1}$
 
   Snell's law $n_1 \sin \theta_1=n_2 \sin \theta_2$
 
+  ${v_1 \div v_2} = {\sin\theta_1 \div \sin\theta_2}$
+
+  $n_1 v_1 = n_2 v_2$
+
+  $n={c \over v}$
+
+
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Light and Matter}
 
   % -----------------------
   \subsection*{Planck's equation}
 
-  \[ f={c \over \lambda},\quad E=hf={hc \over \lambda}=\rho c \]
+  \[ \quad E=hf={hc \over \lambda}=\rho c = qV\]
   \[ h=6.63 \times 10^{-34}\operatorname{J s}=4.14 \times 10^{-15} \operatorname{eV s} \]
   \[ 1 \operatorname{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \operatorname{J} \]
 
+  \subsection*{De Broglie's theory}
+
+  \[ \lambda = {h \over \rho} = {h \over mv} = {h \over {m \sqrt{2W \over m}}}\]
+  \[ \rho = {hf \over c} = {h \over \lambda} = mv, \quad E = \rho c \]
+  \[ v = \sqrt{2E_K \div m} \]
+
+  \begin{itemize}
+    \item cannot confirm with double-slit (slit $< r_{\operatorname{proton}}$)
+    \item confirmed by e- and x-ray patterns
+  \end{itemize}
+
   \subsection*{Force of electrons}
   \[ F={2P_{\text{in}}\over c} \]
   % \begin{align*}
-    \[ \text{photons / sec} = {\text{total energy} \over \text{energy / photon}} \]
-    \[ ={{P_{\text{in}} \lambda} \over hc}={P_{\text{in}} \over hf} \]
-    % ={P_{\text{in}} \lambda} \over hc}={P_{\text{in}} \over hf}
+  \[ \text{photons / sec} = {\text{total energy} \over \text{energy / photon}} \]
+  \[ ={{P_{\text{in}} \lambda} \over hc}={P_{\text{in}} \over hf} \]
+  % ={P_{\text{in}} \lambda} \over hc}={P_{\text{in}} \over hf}
   % \end{align*}
 
+  \subsection*{X-ray electron interaction}
+
+  \begin{itemize}
+    \item e- stable if $mvr = n{h \over 2\pi}$ where $n \in \mathbb{Z}$ and $r$ is radius of orbit
+    \item $\therefore 2\pi r = n{h \over mv} = n \lambda$ (circumference)
+    \item if $2\pi r \ne n{h \over mv}$, no standing wave
+    \item if e- = x-ray diff patterns, $E_{\text{e-}}={\rho^2 \over 2m}={({h \over \lambda})^2 \div 2m}$
+    % \item calculating $h$: $\lambda = {h \over \rho}$
+  \end{itemize}
+
   \subsection*{Photoelectric effect}
 
   \begin{itemize}
     \item $V_{\operatorname{supply}}$ does not affect photocurrent
-    \item $V_{\operatorname{sup}} > 0$: e- attracted to collector anode
-    \item $V_{\operatorname{sup}} < 0$: attracted to illuminated cathode, $I\rightarrow 0$
-    \item $v$ of depends on ionisation energy (shell)
-    \item max current depends on intensity
+    \item $V_{\operatorname{sup}} > 0$: attracted to +ve
+    \item $V_{\operatorname{sup}} < 0$: attracted to -ve, $I\rightarrow 0$
+    \item $v$ of e- depends on shell
+    \item max $I$ (not $V$) depends on intensity
   \end{itemize}
 
-  \textbf{Threshold frequency $f_0$}
+  \subsubsection*{Threshold frequency $f_0$}
 
-  Minimum $f$ for photoelectrons to be ejected. $x$-intercept of frequency vs $E_K$ graph. if $f < f_0$, no photoelectrons are detected.
+  min $f$ for photoelectron release. if $f < f_0$, no photoelectrons.
 
-  \textbf{Work function $\phi$}
+  \subsubsection*{Work function $\phi=hf_0$}
 
-  Minimum $E$ required to release photoelectrons. Magnitude of $y$-intercept of frequency vs $E_K$ graph. $\phi$ is determined by strength of bonding.
+  min $E$ for photoelectron release. determined by strength of bonding. Units: eV or J.
 
-   $\phi=hf_0$
+  \subsubsection*{Kinetic energy E_K=hf - \phi = qV_0}
 
-  \textbf{Kinetic energy}
 
-  E_{\operatorname{k-max}}=hf - \phi
+  $V_0 = E_K$ in eV \\
+  % $E_K = x$-int of $V\cdot I$ graph (in eV) \\
+  dashed line below $E_K=0$
 
-  voltage in circuit or stopping voltage = max $E_K$ in eV
-  equal to $x$-intercept of volts vs current graph (in eV)
 
-  \textbf{Stopping potential $V$ for min $I$}
+  \subsubsection*{Stopping potential $V_0$ for min $I$}
 
-  $V=h_{\text{eV}}(f-f_0)$
+  $$V_0=h_{\text{eV}}(f-f_0)$$
+  Opposes induced photocurrent
 
-  \columnbreak
+  \subsubsection*{Graph features}
 
-  \subsection*{De Broglie's theory}
+  \newcolumntype{b}{>{\hsize=.75\hsize}X}
+\newcolumntype{s}{>{\hsize=.3\hsize}X}
 
-  \[ \lambda = {h \over \rho} = {h \over mv} \]
-  \[ \rho = {hf \over c} = {h \over \lambda} = mv, \quad E = \rho c \]
-  \begin{itemize}
-    \item cannot confirm with double-slit (slit $< r_{\operatorname{proton}}$)
-    \item confirmed by similar e- and x-ray diff patterns
-  \end{itemize}
+  \begin{tabularx}{\columnwidth}{bbbb}
+\hline
+&$m$&$x$-int&$y$-int \\
+\hline
+\hline
+$f \cdot E_K$ & $h$ & $f_0$ & $-\phi$ \\
+$V \cdot I$ &  & $V_0$ & intensity\\
+$f \cdot V$ & ${h \over q}$ & $f_0$ & $-\phi \over q$ &
+\hline
+\end{tabularx}
 
-  \subsection*{X-ray electron interaction}
 
-  \begin{itemize}
-    \item e- is only stable if $mvr = n{h \over 2\pi}$ where $n \in \mathbb{Z}$
-    \item rearranging this, $2\pi r = n{h \over mv} = n \lambda$ (circumference)
-    \item if $2\pi r \ne n{h \over mv}$, no standing wave
-    \item if e- = x-ray diff patterns, $E_{\text{e-}}={\rho^2 \over 2m}={({h \over \lambda})^2 \div 2m}$
-    \item calculating $h$: $\lambda = {h \over \rho}$
-  \end{itemize}
 
   \subsection*{Spectral analysis}
 
     \item No. of lines - include all possible states
   \end{itemize}
 
-  \subsection{Uncertainty principle}
+  \subsection*{Uncertainty principle}
 
   measuring location of an e- requires hitting it with a photon, but this causes $\rho$ to be transferred to electron, moving it.
 
-  \subsection{Wave-particle duaity}
+  \subsection*{Wave-particle duality}
 
-  wave model:
+  \subsubsection*{wave model}
   \begin{itemize}
     \item cannot explain photoelectric effect
     \item $f$ is irrelevant to photocurrent
     \item predicts delay between incidence and ejection
     \item speed depends on medium
+    \item supported by bright spot in centre
+    \item $\lambda = {hc \over E}$
   \end{itemize}
 
-  particle model:
+  \subsubsection*{particle model}
 
   \begin{itemize}
     \item explains photoelectric effect
     \item double slit: photons interact. interference pattern still appears when a dim light source is used so that only one photon can pass at a time
     \item light exerts force
     \item light bent by gravity
+    \item quantised energy
+    \item $\lambda = {h \over \rho}$
   \end{itemize}
 
   % +++++++++++++++++++++++
-  \section{Uncertainty}
+  \section{Experimental \\ design}
 
-  \textbf{Absolute uncertainty} - $\Delta$ - same units as quantity.
+  \textbf{Absolute uncertainty} $\Delta$ \\
+  (same units as quantity)
   \[ \Delta(m) = {{\mathcal{E}(m)} \over 100} \cdot m \]
-
   \[ (A \pm \Delta A) + (B \pm \Delta A) = (A+B) \pm (\Delta A + \Delta B) \]
   \[ (A \pm \Delta A) - (B \pm \Delta A) = (A-B) \pm (\Delta A + \Delta B) \]
   \[ c(A \pm \Delta A) = cA \pm c \Delta A \]
 
-  \textbf{Relative uncertainty} - $\mathcal{E}$ - unitless.
-  \[ \mathcal{E}(m) = {{\Delta(m)} \over m} \cdot 100} \]
+  \textbf{Relative uncertainty} $\mathcal{E}$ (unitless)
+  \[ \mathcal{E}(m) = {{\Delta(m)} \over m} \cdot 100 \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A) \cdot (B \pm \mathcal{E} B) = (A \cdot B) \pm (\mathcal{E} A + \mathcal{E} B) \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A) \div (B \pm \mathcal{E} B) = (A \div B) \pm (\mathcal{E} A + \mathcal{E} B) \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A)^n = (A^n \pm n \mathcal{E} A) \]
   Uncertainty of a measurement is $1 \over 2$ the smallest division
 
   \textbf{Precision} - concordance of values \\
-  \textbf{Accuracy} - closeness to actual value
-
-
-
-
-
-
+  \textbf{Accuracy} - closeness to actual value\\
+  \textbf{Random errors} - unpredictable, reduced by more tests \\
+  \textbf{Systematic errors} - not reduced by more tests \\
+  \textbf{Uncertainty} - margin of potential error \\
+  \textbf{Error} - actual difference \\
+  \textbf{Hypothesis} - can be tested experimentally \\
+  \textbf{Model} - evidence-based but indirect representation
 
+\end{multicols}
 
+\begin{center}
+  \includegraphics[height=2.95cm]{graphics/spectrum.png}
+\end{center}
 
-\end{multicols}
 \end{document}