cheatsheet - kinetic energy, harmonics etc
[notes.git] / physics / final.tex
index d988bac602c5bbfb8bc46e5f672801370d69775d..d9766f637ef1f89d4a4a8fe5e4b72bc4a26bd17a 100644 (file)
@@ -9,6 +9,8 @@
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{wrapfig}
 \usepackage{enumitem}
+\usepackage{supertabular}
+\usepackage{tabularx}
 \setitemize{noitemsep,topsep=0pt,parsep=0pt,partopsep=0pt,leftmargin=5pt}
 
 
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Motion}
 
-  $\operatorname{m/s} \times 3.6 = \operatorname{km/h}$
+  $\operatorname{m/s} \, \times \, 3.6 = \operatorname{km/h}$
 
   \subsection*{Inclined planes}
-    $F = m g \sin\theta F_{frict} = m a$
+    $F = m g \sin\theta - F_{\text{frict}} = m a$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Banked tracks}
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/banked-track.png}
 
-    $$\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$$
+    $\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$
 
-    $\Sigma F$ always acts towards centre, but not necessarily horizontally
+    $\Sigma F$ always acts towards centre (horizontally)
 
     $\Sigma F = F_{\operatorname{norm}} + F_{\operatorname{g}}={{mv^2} \over r} = mg \tan \theta$
 
     Design speed $v = \sqrt{gr\tan\theta}$
 
+    $n\sin \theta = {mv^2 \div r}, \quad n\cos \theta = mg$
+
 % -----------------------
   \subsection*{Work and energy}
 
@@ -80,8 +84,9 @@
 % -----------------------
   \subsection*{Projectile motion}
     \begin{itemize}
-      \item{horizontal component of velocity is constant if no air resistance}
-      \item{vertical component affected by gravity: $a_y = -g$}
+      \item $v_x$ is constant: $v_x = {s \over t}$
+      \item use suvat to find $t$ from $y$-component
+      \item vertical component gravity: $a_y = -g$
     \end{itemize}
 
     \begin{align*}
 
   $F=-kx$
 
-  $E_{elastic} = {1 \over 2}kx^2$
+  $\text{elastic potential energy} = {1 \over 2}kx^2$
+
+  $x={2mg \over k}$
 
 % -----------------------
   \subsection*{Motion equations}
 
     \begin{tabular}{ l r }
+      & no \\
       $v=u+at$ & $x$ \\
       $x = {1 \over 2}(v+u)t$ & $a$ \\
       $x=ut+{1 \over 2}at^2$ & $v$ \\
 
     2. Speed of light $c$ is the same to all observers (Michelson-Morley)
 
-    $\therefore , t$ must dilate as speed changes
+    $\therefore \, t$ must dilate as speed changes
 
     {\bf Inertial reference frame} $a=0$
 
     \end{itemize}
 
     \includegraphics[height=2cm]{graphics/field-lines.png}
+    % \includegraphics[height=2cm]{graphics/bar-magnet-fields-rotated.png}
 
 % -----------------------
   \subsection*{Gravity}
 
     \[v=\sqrt{Gm_{\operatorname{planet}} \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}\]
 
-    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^2} \over {GM}}\tag{period}\]
+    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^3} \over {GM_\text{planet}}}\tag{period}\]
 
     \[\sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}\]
 
 
     \[F=qvB\tag{$F$ on moving $q$}\]
     \[F=IlB\tag{$F$ of $B$ on $I$}\]
+    \[B={mv \over qr}\tag{field strength on e-}\]
     \[r={mv \over qB} \tag{radius of $q$ in $B$}\]
 
     if $B {\not \perp} A, \Phi \rightarrow 0$ \hspace{1em}, \hspace{1em} if $B \parallel A, \Phi = 0$
     \[\mathcal{E} = -N{{\Delta \Phi}\over{\Delta t}} \tag{induced emf} \]
     \[{V_p \over V_s}={N_p \over N_s}={I_s \over I_p} \tag{xfmr coil ratios} \]
 
-    \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$
+    \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$ \\
+    (emf creates $I$ with associated field that opposes $\Delta \phi$)
 
     \textbf{Eddy currents:} counter movement within a field
 
     \textbf{Right hand grip:} thumb points to $I$ (single wire) or N (solenoid / coil)
 
-    \textbf{Right hand slap:} $B \perp I \perp F$
+    \includegraphics[height=2cm]{graphics/slap-2.jpeg}
+    \includegraphics[height=3cm]{graphics/grip.png}
+
+    % \textbf{Right hand slap:} $B \perp I \perp F$ \\
+    % ($I$ = thumb)
 
     \textbf{Flux-time graphs:} $m \times n = \operatorname{emf}$
 
 % \begin{wrapfigure}{r}{-0.1\textwidth}
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/dc-motor-2.png}
-      \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+    \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+
+    Force on current-carying wire, not copper \\
+    $F=0$ for front & back of coil (parallel) \\
+    Any angle $> 0$ will produce force \\
 % \end{wrapfigure}
     \textbf{DC:} split ring (two halves)
 
 % \end{wrapfigure}
     \textbf{AC:} slip ring (separate rings with constant contact)
 
+% \pagebreak
+
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Waves}
 
-  \textbf{nodes:} fixed on graph
-  \textbf{amplitude:} max displacement from $y=0$
-  \textbf{rarefactions} (expansions) / \textbf{compressions}
-  \textbf{mechanical:} transfer of energy without net transfer of matter
-  
+  \textbf{nodes:} fixed on graph \\
+  \textbf{amplitude:} max disp. from $y=0$ \\
+  \textbf{rarefactions} and \textbf{compressions} \\
+  \textbf{mechanical:} transfer of energy without net transfer of matter \\
+
 
   \textbf{Longitudinal (motion $||$ wave)}
   \includegraphics[width=6cm]{graphics/longitudinal-waves.png}
   \includegraphics[width=6cm]{graphics/transverse-waves.png}
 
   % -----------------------
-  \subsection*{Motors}
   $T={1 \over f}\quad$(period: time for one cycle)
   $v=f \lambda \quad$(speed: displacement / sec)
 
   % -----------------------
   \subsection*{Doppler effect}
+
   When $P_1$ approaches $P_2$, each wave $w_n$ has slightly less distance to travel than $w_{n-1}$. $w_n$ reaches observer sooner than $w_{n-1}$ ("apparent" $\lambda$).
 
   % -----------------------
   \subsection*{Interference}
-  When a medium changes character, energy is reflected, absorbed, and transmitted
+
+  \includegraphics[width=4.5cm]{graphics/possons-spot.png}
+  Poissons's spot supports wave theory (circular diffraction)
+
+  \textbf{Standing waves} - constructive int. at resonant freq
+
+  \textbf{Coherent } - identical frequency, phase, direction (ie strong & directional). e.g. laser
+
+  \textbf{Incoherent} - e.g. incandescent bulb
+
+
+
+
+
+  % -----------------------
+  \subsection*{Harmonics}
+
+  \(\lambda = {{al} \div n}\quad\) (\(\lambda\) for \(n^{th}\) harmonic)\\
+  \(f = {nv \div al}\quad\) (\(f\) for \(n_{th}\) harmonic at length
+  \(l\) and speed \(v\)) \\
+  where \(a=2\) for antinodes at both ends, \(a=4\) for antinodes at one end
 
   % -----------------------
   \subsection*{Polarisation}
   \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/polarisation.png}
 
+  % -----------------------
+  \subsection*{Diffraction}
+  \includegraphics[width=6cm]{graphics/diffraction.jpg}
+  \includegraphics[width=6cm]{graphics/diffraction-2.png}
+  \begin{itemize}
+    % \item \(pd = |S_1P-S_2P|\) for \(p\) on screen
+    \item Constructive: \(pd = n\lambda, n \in \mathbb{Z}\)
+    \item Destructive: \(pd = (n-{1 \over 2})\lambda, n \in \mathbb{Z}\)
+    \item Path difference: \(\Delta x = {{\lambda l }\over d}\) where \\
+    % \(\Delta x\) = fringe spacing \\
+    \(l\) = distance from source to observer\\
+    \(d\) = separation between each wave source (e.g. slit) \(=S_1-S_2\)
+    \item diffraction $\propto {\lambda \over d}$
+    \item significant diffraction when ${\lambda \over \Delta x} \ge 1$
+    \item diffraction creates distortion (electron $>$ optical microscopes)
+  \end{itemize}
+
+
   % -----------------------
   \subsection*{Refraction}
   \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/refraction.png}
 
-  Angle of incidence $\theta_i =$ angle of reflection $\theta_r$
+  When a medium changes character, energy is \emph{reflected}, \emph{absorbed}, and \emph{transmitted}
+
+  angle of incidence $\theta_i =$ angle of reflection $\theta_r$
 
   Critical angle $\theta_c = \sin^-1{n_2 \over n_1}$
 
   Snell's law $n_1 \sin \theta_1=n_2 \sin \theta_2$
 
+
 % +++++++++++++++++++++++
 \section{Light and Matter}
 
     % ={P_{\text{in}} \lambda} \over hc}={P_{\text{in}} \over hf}
   % \end{align*}
 
+  \subsection*{De Broglie's theory}
+
+  \[ \lambda = {h \over \rho} = {h \over mv} \]
+  \[ \rho = {hf \over c} = {h \over \lambda} = mv, \quad E = \rho c \]
+  \begin{itemize}
+    \item cannot confirm with double-slit (slit $< r_{\operatorname{proton}}$)
+    \item confirmed by e- and x-ray patterns
+  \end{itemize}
+
+  \subsection*{X-ray electron interaction}
+
+  \begin{itemize}
+    \item e- stable if $mvr = n{h \over 2\pi}$ where $n \in \mathbb{Z}$
+    \item $\therefore 2\pi r = n{h \over mv} = n \lambda$ (circumference)
+    \item if $2\pi r \ne n{h \over mv}$, no standing wave
+    \item if e- = x-ray diff patterns, $E_{\text{e-}}={\rho^2 \over 2m}={({h \over \lambda})^2 \div 2m}$
+    % \item calculating $h$: $\lambda = {h \over \rho}$
+  \end{itemize}
+
   \subsection*{Photoelectric effect}
 
   \begin{itemize}
     \item $V_{\operatorname{supply}}$ does not affect photocurrent
-    \item $V_{\operatorname{sup}} > 0$: e- attracted to collector anode
-    \item $V_{\operatorname{sup}} < 0$: attracted to illuminated cathode, $I\rightarrow 0$
-    \item $v$ of depends on ionisation energy (shell)
+    \item $V_{\operatorname{sup}} > 0$: attracted to +ve
+    \item $V_{\operatorname{sup}} < 0$: attracted to -ve, $I\rightarrow 0$
+    \item $v$ of e- depends on shell
     \item max current depends on intensity
   \end{itemize}
 
-  \textbf{Threshold frequency $f_0$}
+  \subsubsection*{Threshold frequency $f_0$}
 
-  Minimum $f$ for photoelectrons to be ejected. $x$-intercept of frequency vs $E_K$ graph. if $f < f_0$, no photoelectrons are detected.
+  min $f$ for photoelectron release. if $f < f_0$, no photoelectrons.
 
-  \textbf{Work function $\phi$}
+  \subsubsection*{Work function $\phi=hf_0$}
 
-  Minimum $E$ required to release photoelectrons. Magnitude of $y$-intercept of frequency vs $E_K$ graph. $\phi$ is determined by strength of bonding.
+  min $E$ for photoelectron release. determined by strength of bonding. Units: eV or J.
 
-   $\phi=hf_0$
+  \subsubsection*{Kinetic energy E_K=hf - \phi = qV_0}
 
-  \textbf{Kinetic energy}
 
-  E_{\operatorname{k-max}}=hf - \phi
+  $V_0 = E_K$ in eV \\
+  % $E_K = x$-int of $V\cdot I$ graph (in eV) \\
+  dashed line below $E_K=0$
 
-  voltage in circuit or stopping voltage = max $E_K$ in eV
-  equal to $x$-intercept of volts vs current graph (in eV)
 
-  \textbf{Stopping potential $V$ for min $I$}
+  \subsubsection*{Stopping potential $V_0$ for min $I$}
 
-  $V=h_{\text{eV}}(f-f_0)$
+  $$V_0=h_{\text{eV}}(f-f_0)$$
 
-  \columnbreak
+  \subsubsection*{Graph features}
 
-  \subsection*{De Broglie's theory}
+  \newcolumntype{b}{>{\hsize=.75\hsize}X}
+\newcolumntype{s}{>{\hsize=.3\hsize}X}
 
-  \[ \lambda = {h \over \rho} = {h \over mv} \]
-  \[ \rho = {hf \over c} = {h \over \lambda} = mv, \quad E = \rho c \]
-  \begin{itemize}
-    \item cannot confirm with double-slit (slit $< r_{\operatorname{proton}}$)
-    \item confirmed by similar e- and x-ray diff patterns
-  \end{itemize}
+  \begin{tabularx}{\columnwidth}{bbbb}
+\hline
+&$m$&$x$-int&$y$-int \\
+\hline
+\hline
+$f \cdot E_K$ & $h$ & $f_0$ & $-\phi$ \\
+$V \cdot I$ &  & $V_0$ & intensity\\
+$f \cdot V$ & ${h \over q}$ & $f_0$ & $-\phi \over q$ &
+\hline
+\end{tabularx}
 
-  \subsection*{X-ray electron interaction}
 
-  \begin{itemize}
-    \item e- is only stable if $mvr = n{h \over 2\pi}$ where $n \in \mathbb{Z}$
-    \item rearranging this, $2\pi r = n{h \over mv} = n \lambda$ (circumference)
-    \item if $2\pi r \ne n{h \over mv}$, no standing wave
-    \item if e- = x-ray diff patterns, $E_{\text{e-}}={\rho^2 \over 2m}={({h \over \lambda})^2 \div 2m}$
-    \item calculating $h$: $\lambda = {h \over \rho}$
-  \end{itemize}
 
   \subsection*{Spectral analysis}
 
     \item No. of lines - include all possible states
   \end{itemize}
 
-  \subsection{Uncertainty principle}
+  \subsection*{Uncertainty principle}
 
   measuring location of an e- requires hitting it with a photon, but this causes $\rho$ to be transferred to electron, moving it.
 
-  \subsection{Wave-particle duaity}
+  \subsection*{Wave-particle duaity}
 
-  wave model:
+  \subsubsection*{wave model}
   \begin{itemize}
     \item cannot explain photoelectric effect
     \item $f$ is irrelevant to photocurrent
     \item predicts delay between incidence and ejection
     \item speed depends on medium
+    \item supported by bright spot in centre
   \end{itemize}
 
-  particle model:
+  \subsubsection*{particle model}
 
   \begin{itemize}
     \item explains photoelectric effect
     \item double slit: photons interact. interference pattern still appears when a dim light source is used so that only one photon can pass at a time
     \item light exerts force
     \item light bent by gravity
+    \item quantised energy
   \end{itemize}
 
   % +++++++++++++++++++++++
-  \section{Uncertainty}
+  \section{Experimental \\ design}
 
-  \textbf{Absolute uncertainty} - $\Delta$ - same units as quantity.
+  \textbf{Absolute uncertainty} $\Delta$ \\
+  (same units as quantity)
   \[ \Delta(m) = {{\mathcal{E}(m)} \over 100} \cdot m \]
-
   \[ (A \pm \Delta A) + (B \pm \Delta A) = (A+B) \pm (\Delta A + \Delta B) \]
   \[ (A \pm \Delta A) - (B \pm \Delta A) = (A-B) \pm (\Delta A + \Delta B) \]
   \[ c(A \pm \Delta A) = cA \pm c \Delta A \]
 
-  \textbf{Relative uncertainty} - $\mathcal{E}$ - unitless.
-  \[ \mathcal{E}(m) = {{\Delta(m)} \over m} \cdot 100} \]
+  \textbf{Relative uncertainty} $\mathcal{E}$ (unitless)
+  \[ \mathcal{E}(m) = {{\Delta(m)} \over m} \cdot 100 \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A) \cdot (B \pm \mathcal{E} B) = (A \cdot B) \pm (\mathcal{E} A + \mathcal{E} B) \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A) \div (B \pm \mathcal{E} B) = (A \div B) \pm (\mathcal{E} A + \mathcal{E} B) \]
   \[ (A \pm \mathcal{E} A)^n = (A^n \pm n \mathcal{E} A) \]
   Uncertainty of a measurement is $1 \over 2$ the smallest division
 
   \textbf{Precision} - concordance of values \\
-  \textbf{Accuracy} - closeness to actual value
-
-
-
-
-
-
-
-
+  \textbf{Accuracy} - closeness to actual value\\
+  \textbf{Random errors} - unpredictable, reduced by more tests \\
+  \textbf{Systematic errors} - not reduced by more tests \\
+  \textbf{Uncertainty} - margin of potential error \\
+  \textbf{Error} - actual difference \\
+  \textbf{Hypothesis} - can be tested experimentally \\
+  \textbf{Model} - evidence-based but indirect representation
 
 \end{multicols}
+
 \end{document}