[spec] start vector calculus
[notes.git] / spec / circ.md
index 9d7dfbf3b4c359c447ee5edeba76b63f7faea8ce..a32ec666f388b1908890c8bd4972ee43dafef5da 100644 (file)
@@ -1,3 +1,10 @@
+---
+geometry: margin=1.9cm
+columns: 2
+graphics: yes
+author: Andrew Lorimer
+---
+
 # Circular functions
 
 Period of $a\sin(bx)$ is ${2\pi} \over b$
@@ -18,10 +25,9 @@ $$\operatorname{cosec} \theta = {1 \over \sin \theta} \> \vert \> \sin \theta \n
 - **Turning points** at $\theta = {{(2n + 1)\pi} \over 2} \> \vert \> n \in \mathbb{Z}$
 - **Asymptotes** at $\theta = n\pi \> \vert \> n \in \mathbb{Z}$
 
-
 ### Secant
 
-!()[graphics/sec.png]
+![](graphics/sec.png)
 
 $$\operatorname{sec} \theta = {1 \over \cos \theta} \> \vert \> \cos \theta \ne 0$$
 
@@ -30,10 +36,9 @@ $$\operatorname{sec} \theta = {1 \over \cos \theta} \> \vert \> \cos \theta \ne
 - **Turning points** at $\theta = n\pi \> \vert \> n \in \mathbb{Z}$
 - **Asymptotes** at $\theta = {{(2n + 1) \pi} \over 2} \> \vert \> n \in \mathbb{Z}$
 
-
 ### Cotangent
 
-!()[graphics/cot.png]
+![](graphics/cot.png)
 
 $$\operatorname{cot} \theta = {{\cos \theta} \over {\sin \theta}} \> \vert \> \sin \theta \ne 0$$
 
@@ -67,3 +72,40 @@ $$\operatorname{cot} \theta = {{\cos \theta} \over {\sin \theta}} \> \vert \> \s
   1 + \operatorname{cot}^2 x & = \operatorname{cosec}^2 x, \quad \text{where } \sin x \ne 0 \\
   1 + \tan^2 x & = \operatorname{sec}^2 x, \quad \text{where } \cos x \ne 0
 \end{split}\end{equation}
+
+## Compound angle formulas
+
+$$\cos(x \pm y) = \cos x + \cos y \mp \sin x \sin y$$
+$$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$
+$$\tan(x \pm y) = {{\tan x \pm \tan y} \over {1 \mp \tan x \tan y}}$$
+
+## Double angle formulas
+
+\begin{equation}\begin{split}
+  \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\
+  & = 1 - 2\sin^2 x \\
+  & = 2 \cos^2 x -1
+\end{split}\end{equation}
+
+$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$
+
+$$\tan 2x = {{2 \tan x} \over {1 - \tan^2 x}}$$
+
+## Inverse circular functions
+
+Inverse functions: $f(f^{-1}(x)) = x, \quad f(f^{-1}(x)) = x$  
+Must be 1:1 to find inverse (reflection in $y=x$
+
+Domain is restricted to make functions 1:1.
+
+### $\arcsin$
+
+$$\sin^{-1}: [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad \sin^{-1} x = y, \quad \text{where } \sin y = x \text{ and } y \in [{-\pi \over 2}, {\pi \over 2}]$$
+
+### $\arcos$
+
+$$\cos^{-1} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \cos^{-1} x = y, \quad \text{where } \cos y = x \text{ and } y \in [0, \pi]$$
+
+### $\arctan$
+
+$$\tan^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \tan^{-1} x = y, \quad \text{where } \tan y = x \text{ and } y \in \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)$$