update practice exams
[notes.git] / methods / statistics-ref.tex
index 3461bce155460d62ba29dd5b565b387eade46a16..ae4153ec75e8a4c1656ac484a741d36371e9b45f 100644 (file)
 \documentclass[methods-collated.tex]{subfiles}
+
 \begin{document}
-  \section{Statistics}
 
-  \subsection*{Probability}
+\section{Statistics}
+
+\subsection*{Probability}
+
+\begin{align*}
+  \Pr(A \cup B) &= \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B) \\
+  \Pr(A \cap B) &= \Pr(A|B) \times \Pr(B) \\
+  \Pr(A|B) &= \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)} \\
+  \Pr(A) &= \Pr(A|B) \cdot \Pr(B) + \Pr(A|B^{\prime}) \cdot \Pr(B^{\prime})
+\end{align*}
+
+Mutually exclusive: \(\Pr(A \cap B) = 0\) \\
+
+Independent events:
+\begin{flalign*}
+  \quad \Pr(A \cap B) &= \Pr(A) \times \Pr(B)& \\
+  \Pr(A|B) &= \Pr(A) \\
+  \Pr(B|A) &= \Pr(B)
+\end{flalign*}
+
+\subsection*{Combinatorics}
+
+\begin{align*}
+  \text{Arrangements} && {n \choose k} & = \frac{n!}{(n-k)} \\
+  \text{Combinations} && {n \choose k} & = \frac{n!}{k!(n-k)!}
+\end{align*}
+
+Note \({n \choose k} = {n \choose k-1}\)
+
+\begin{cas}
+  Keyboard \(\rightarrow\) Advance \(\rightarrow\) \keystroke{nCr}/\keystroke{nPr} \\
+  \-\hspace{1em} \texttt{nCr(n, r)} or \texttt{nPr(n, r)}
+\end{cas}
+
+\subsection*{Distributions}
+
+\begin{tikzpicture}
+  \begin{axis}[axis lines=left,
+    ticks=none,
+    xmin=0,
+    ymax=0.5,
+    enlargelimits=upper,
+    ylabel={\(\Pr(X=x)\)},
+    xlabel={\(x\)},
+    every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=north west},
+    every axis y label/.style={at={(axis description cs:-0.02,0.5)}, anchor=south west, rotate=90},
+    ]
+    \fill[pattern=north east lines, pattern color=orange] (0,0)  -- plot[domain=0:1.68, samples=50] function {abs(x)*exp(-x)} -- (1.68,0) -- cycle;
+    \fill[pattern=north west lines, pattern color=red] (1.68,0)  -- plot[domain=1.68:5, samples=50] function {abs(x)*exp(-x)} -- (5,0) -- cycle;
+    \draw[dashed, blue, very thick] (axis cs:1.68,0) -- (axis cs:1.68,0.31) node [above, anchor=south west, black] {Median};
+    \draw[dashed, blue, very thick] (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,0.27) node [above, anchor=west, black] {Mean};
+    \draw[dashed, blue, very thick] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,0.365) node [above, black] {Mode};
+    \node at (1,0.18) {\textbf{50\%}};
+    \node at (3.1,0.08) {\textbf{50\%}};
+    \addplot[thick, black, no markers, samples=200, domain=0:5] {abs(x)*exp(-x)};
+  \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+\subsubsection*{Mean \(\mu\)}
+
+\begin{align*}
+  E(X) &= \frac{\Sigma \left[ x \cdot f(x) \right]}{\Sigma f} \tag{\(f =\) absolute frequency} \\
+  &= \sum_{i=1}^n \left[ x_i \cdot \Pr(X=x_i) \right] \tag{discrete}\\
+  &= \int_\textbf{X} (x \cdot f(x)) \> dx
+\end{align*}
+
+\subsubsection*{Mode}
+
+Value of \(X\) which has the highest probability
+
+\begin{itemize} \tightlist
+  \item Most popular value in discrete distributions
+  \item Must exist in distribution
+  \item Represented by local max in pdf
+  \item Multiple modes exist when \(>1 \> X\) value have equal-highest probability
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Median}
+
+Value separating lower and upper half of distribution area
+
+\textbf{Continuous:}
+\[ m = X \> \text{such that} \> \int_{-\infty}^{m} f(x) \> dx = 0.5 \]
+
+\textbf{Discrete:} (not in course)
+\begin{itemize} \tightlist
+  \item Does not have to exist in distribution
+  \item Add values of \(X\) smallest to largest until sum is \(\ge 0.5\)
+  \item If \(X_1 < 0.5 < X_2\), then median is the average of \(X_1\) and \(X_2\)
+  \begin{itemize}\tightlist
+    \item If \(m > 0.5\), then value of \(X\) that is reached is the median of \(X\)
+  \end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Variance \(\sigma^2\)}
+
+\begin{align*}
+  \operatorname{Var}(x) &= \sum_{i=1}^n p_i (x_i-\mu)^2 \\
+  &= \sum (x-\mu)^2 \times \Pr(X=x) \\
+  &= \sum x^2 \times p(x) - \mu^2 \\
+  &= \operatorname{E}(X^2) - [\operatorname{E}(X)]^2 \\
+  &= E\left[(X-\mu)^2\right]
+\end{align*}
+
+\subsubsection*{Standard deviation \(\sigma\)}
+
+\begin{align*}
+  \sigma &= \operatorname{sd}(X) \\
+  &= \sqrt{\operatorname{Var}(X)}
+\end{align*}
+
+\subsection*{Binomial distributions}
+
+Conditions for a \textit{binomial distribution}:
+\begin{enumerate} \tightlist
+  \item Two possible outcomes: \textbf{success} or \textbf{failure}
+  \item \(\Pr(\text{success})\) (=\(p\)) is constant across trials
+  \item Finite number \(n\) of independent trials
+\end{enumerate}
+
+
+\subsubsection*{Properties of \(X \sim \operatorname{Bi}(n,p)\)}
+
+\begin{align*}
+  \mu(X) &= np \\
+  \operatorname{Var}(X) &= np(1-p) \\
+  \sigma(X) &= \sqrt{np(1-p)} \\
+  \Pr(X=x) &= {n \choose x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}
+\end{align*}
+
+\begin{cas}
+  Interactive \(\rightarrow\) Distribution \(\rightarrow\) \verb;binomialPdf;
+  \begin{description}[nosep, style=multiline, labelindent=0.5cm, leftmargin=3cm, font=\normalfont]
+    \item [x:] no. of successes
+    \item [numtrial:] no. of trials
+    \item [pos:] probability of success
+  \end{description}
+\end{cas}
 
-  \begin{align*}
-    \Pr(A \cup B) &= \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B) \\
-    \Pr(A \cap B) &= \Pr(A|B) \times \Pr(B) \\
-    \Pr(A|B) &= \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)} \\
-    \Pr(A) &= \Pr(A|B) \cdot \Pr(B) + \Pr(A|B^{\prime}) \cdot \Pr(B^{\prime})
-  \end{align*}
+\subsection*{Continuous random variables}
 
-  Mutually exclusive \(\implies \Pr(A \cup B) = 0\) \\
+A continuous random variable \(X\) has a pdf \(f\) such that:
 
-  Independent events:
-  \begin{flalign*}
-    \quad \Pr(A \cap B) &= \Pr(A) \times \Pr(B)& \\
-    \Pr(A|B) &= \Pr(A) \\
-    \Pr(B|A) &= \Pr(B)
-  \end{flalign*}
+\begin{enumerate}
+  \item \(f(x) \ge 0 \forall x \)
+  \item \(\int^\infty_{-\infty} f(x) \> dx = 1\)
+\end{enumerate}
 
-  \subsection*{Combinatorics}
+\begin{align*}
+  E(X) &= \int_\textbf{X} (x \cdot f(x)) \> dx \\
+  \operatorname{Var}(X) &= E\left[(X-\mu)^2\right]
+\end{align*}
 
-  \begin{itemize}
-    \item Arrangements \({n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)}\)
-    \item \colorbox{important}{Combinations} \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
-    \item Note \({n \choose k} = {n \choose k-1}\)
-  \end{itemize}
-
-  \subsection*{Distributions}
+\[ \Pr(X \le c) = \int^c_{-\infty} f(x) \> dx \]
 
-  \subsubsection*{Mean \(\mu\)}
+\subsection*{Two random variables \(X, Y\)}
 
-  \textbf{Mean} \(\mu\) or \textbf{expected value} \(E(X)\)
+If \(X\) and \(Y\) are independent:
+\begin{align*}
+  \operatorname{E}(aX+bY) & = a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y) \\
+  \operatorname{Var}(aX \pm bY \pm c) &= a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y)
+\end{align*}
 
-  \begin{align*}
-    E(X) &= \frac{\Sigma \left[ x \cdot f(x) \right]}{\Sigma f} \tag{\(f =\) absolute frequency} \\
-    &= \sum_{i=1}^n \left[ x_i \cdot \Pr(X=x_i) \right] \tag{discrete}\\
-    &= \int_\textbf{X} (x \cdot f(x)) \> dx
-  \end{align*}
+\subsection*{Linear functions \(X \rightarrow aX+b\)}
 
-  \subsubsection*{Mode}
+\begin{align*}
+  \Pr(Y \le y) &= \Pr(aX+b \le y) \\
+  &= \Pr\left(X \le \dfrac{y-b}{a}\right) \\
+  &= \int^{\frac{y-b}{a}}_{-\infty} f(x) \> dx
+\end{align*}
 
-  Most popular value (has highest probability of all \(X\) values). Multiple modes can exist if \(>1 \> X\) value have equal-highest probability. Number must exist in distribution.
+\begin{align*}
+  \textbf{Mean:} && \operatorname{E}(aX+b) & = a\operatorname{E}(X)+b \\
+  \textbf{Variance:} && \operatorname{Var}(aX+b) &= a^2 \operatorname{Var}(X) \\
+\end{align*}
 
-  \subsubsection*{Median}
+\subsection*{Expectation theorems}
 
-  If \(m > 0.5\), then value of \(X\) that is reached is the median of \(X\). If \(m = 0.5 = 0.5\), then \(m\) is halfway between this value and the next. To find \(m\), add values of \(X\) from smallest to alrgest until the sum reaches 0.5.
+For some non-linear function \(g\), the expected value \(E(g(X))\) is not equal to \(g(E(X))\).
 
-  \[ m = X \> \text{such that} \> \int_{-\infty}^{m} f(x) dx = 0.5 \]
+\begin{align*}
+  E(X^2) &= \operatorname{Var}(X) - \left[E(X)\right]^2 \\
+  E(X^n) &= \Sigma x^n \cdot p(x) \tag{non-linear} \\
+  &\ne [E(X)]^n \\
+  E(aX \pm b) &= aE(X) \pm b \tag{linear} \\
+  E(b) &= b \tag{\(\forall b \in \mathbb{R}\)}\\
+  E(X+Y) &= E(X) + E(Y) \tag{two variables}
+\end{align*}
 
-  \subsubsection*{Variance \(\sigma^2\)}
+\begin{figure*}[hb]
+  \centering
+  \include{../spec/normal-dist-graph}
+\end{figure*}
 
-  \begin{align*}
-    \operatorname{Var}(x) &= \sum_{i=1}^n p_i (x_i-\mu)^2 \\
-    &= \sum (x-\mu)^2 \times \Pr(X=x) \\
-    &= \sum x^2 \times p(x) - \mu^2 \\
-    &= \operatorname{E}(X^2) - [\operatorname{E}(X)]^2
-    &= E\left[(X-\mu)^2\right]
-  \end{align*}
+\subsection*{Sample mean}
 
-  \subsubsection*{Standard deviation \(\sigma\)}
+Approximation of the \textbf{population mean} determined experimentally.
 
-  \begin{align*}
-    \sigma &= \operatorname{sd}(X) \\
-    &= \sqrt{\operatorname{Var}(X)}
-  \end{align*}
+\[ \overline{x} = \dfrac{\Sigma x}{n} \]
 
-  \subsection*{Binomial distributions}
+where
+\begin{description}[nosep, labelindent=0.5cm]
+  \item \(n\) is the size of the sample (number of sample points)
+  \item \(x\) is the value of a sample point
+\end{description}
 
-  Conditions for a \textit{binomial distribution}:
-  \begin{enumerate}
-    \item Two possible outcomes: \textbf{success} or \textbf{failure}
-    \item \(\Pr(\text{success})\) is constant across trials (also denoted \(p\))
-    \item Finite number \(n\) of independent trials
+\begin{cas}
+  \begin{enumerate}[leftmargin=3mm]
+    \item Spreadsheet
+    \item In cell A1:\\ \path{mean(randNorm(sd, mean, sample size))}
+    \item Edit \(\rightarrow\) Fill \(\rightarrow\) Fill Range
+    \item Input range as A1:An where \(n\) is the number of samples
+    \item Graph \(\rightarrow\) Histogram
   \end{enumerate}
+\end{cas}
 
+\subsubsection*{Sample size of \(n\)}
 
-  \subsubsection*{Properties of \(X \sim \operatorname{Bi}(n,p)\)}
-
-  \begin{align*}
-    \mu(X) &= np \\
-    \operatorname{Var}(X) &= np(1-p) \\
-    \sigma(X) &= \sqrt{np(1-p)} \\
-    \Pr(X=x) &= {n \choose x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}
-  \end{align*}
+\[ \overline{X} = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n} = \dfrac{\sum x}{n} \]
 
-  \begin{cas}
-    Interactive \(\rightarrow\) Distribution \(\rightarrow\) \verb;binomialPdf; then input
-    \begin{description}[nosep, style=multiline, labelindent=0.5cm, leftmargin=3cm, font=\normalfont]
-      \item [x:] no. of successes
-      \item [numtrial:] no. of trials
-      \item [pos:] probability of success
-    \end{description}
-  \end{cas}
+Sample mean is distributed with mean \(\mu\) and sd \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) (approaches these values for increasing sample size \(n\)).
 
-  \subsection*{Continuous random variables}
+For a new distribution with mean of \(n\) trials, \(\operatorname{E}(X^\prime) = \operatorname{E}(X), \quad \operatorname{sd}(X^\prime) = \dfrac{\operatorname{sd}(X)}{\sqrt{n}}\)
 
-  A continuous random variable \(X\) has a pdf \(f\) such that:
+\begin{cas}
 
-  \begin{enumerate}
-    \item \(f(x) \ge 0 \forall x \)
-    \item \(\int^\infty_{-\infty} f(x) \> dx = 1\)
-  \end{enumerate}
+  \begin{itemize}
+    \item Spreadsheet \(\rightarrow\) Catalog \(\rightarrow\) \verb;randNorm(sd, mean, n); where \verb;n; is the number of samples. Show histogram with Histogram key in top left
+    \item To calculate parameters of a dataset: Calc \(\rightarrow\) One-variable
+  \end{itemize}
 
-  \begin{align*}
-    E(X) &= \int_\textbf{X} (x \cdot f(x)) \> dx \\
-    \operatorname{Var}(X) &= E\left[(X-\mu)^2\right]
-  \end{align*}
+\end{cas}
 
-  \[ \Pr(X \le c) = \int^c_{-\infty} f(x) \> dx \]
+\subsection*{Population sampling}
 
+\subsubsection*{Population proportion}
 
-  \subsection*{Two random variables \(X, Y\)}
+\[ p = \dfrac{n \text{ with attribute in population}}{\text{population size}} \]
 
-  If \(X\) and \(Y\) are independent:
-  \begin{align*}
-    \operatorname{E}(aX+bY) & = a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y) \\
-    \operatorname{Var}(aX \pm bY \pm c) &= a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y)
-  \end{align*}
+Constant for a given population.
 
-  \subsection*{Linear functions \(X \rightarrow aX+b\)}
+\subsection*{Sample proportion}
 
-  \begin{align*}
-    \Pr(Y \le y) &= \Pr(aX+b \le y) \\
-    &= \Pr\left(X \le \dfrac{y-b}{a}\right) \\
-    &= \int^{\frac{y-b}{a}}_{-\infty} f(x) \> dx
-  \end{align*}
+\[ \hat{p} = \dfrac{n \text{ with attribute in sample}}{\text{sample size}} \]
 
-  \begin{align*}
-    \textbf{Mean:} && \operatorname{E}(aX+b) & = a\operatorname{E}(X)+b \\
-    \textbf{Variance:} && \operatorname{Var}(aX+b) &= a^2 \operatorname{Var}(X) \\
-  \end{align*}
+Varies with each sample.
 
-  \subsection*{Expectation theorems}
+\subsection*{Normal distributions}
 
-  For some non-linear function \(g\), the expected value \(E(g(X))\) is not equal to \(g(E(X))\).
 
-  \begin{align*}
-    E(X^2) &= \operatorname{Var}(X) - \left[E(X)\right]^2 \\
-    E(X^n) &= \Sigma x^n \cdot p(x) \tag{non-linear} \\
-    &\ne [E(X)]^n \\
-    E(aX \pm b) &= aE(X) \pm b \tag{linear} \\
-    E(b) &= b \tag{\(\forall b \in \mathbb{R}\)}\\
-    E(X+Y) &= E(X) + E(Y) \tag{two variables}
-  \end{align*}
+\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
 
-  \subsection*{Sample mean}
+Normal distributions must have area (total prob.) of 1 \(\implies \int^\infty_{-\infty} f(x) \> dx = 1\) \\
+\(\text{mean} = \text{mode} = \text{median}\)
 
-  Approximation of the \textbf{population mean} determined experimentally.
+\begin{warning}
+  Always express \(z\) as +ve. Express confidence \textit{interval} as ordered pair.
+\end{warning}
 
-  \[ \overline{x} = \dfrac{\Sigma x}{n} \]
+\subsection*{Confidence intervals}
 
-  where
-  \begin{description}[nosep, labelindent=0.5cm]
-    \item \(n\) is the size of the sample (number of sample points)
-    \item \(x\) is the value of a sample point
-  \end{description}
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Point estimate:} single-valued estimate of the population mean from the value of the sample mean \(\overline{x}\)
+  \item \textbf{Interval estimate:} confidence interval for population mean \(\mu\)
+  \item \(C\)\% confidence interval \(\implies\) \(C\)\% of samples will contain population mean \(\mu\)
+\end{itemize}
 
-  \begin{cas}
-    \begin{enumerate}[leftmargin=3mm]
-      \item Spreadsheet
-      \item In cell A1:\\ \path{mean(randNorm(sd, mean, sample size))}
-      \item Edit \(\rightarrow\) Fill \(\rightarrow\) Fill Range
-      \item Input range as A1:An where \(n\) is the number of samples
-      \item Graph \(\rightarrow\) Histogram
-    \end{enumerate}
-  \end{cas}
-
-  \subsubsection*{Sample size of \(n\)}
-
-  \[ \overline{X} = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n} = \dfrac{\sum x}{n} \]
-
-  Sample mean is distributed with mean \(\mu\) and sd \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) (approaches these values for increasing sample size \(n\)).
-
-  For a new distribution with mean of \(n\) trials, \(\operatorname{E}(X^\prime) = \operatorname{E}(X), \quad \operatorname{sd}(X^\prime) = \dfrac{\operatorname{sd}(X)}{\sqrt{n}}\)
-
-  \begin{cas}
-
-    \begin{itemize}
-      \item Spreadsheet \(\rightarrow\) Catalog \(\rightarrow\) \verb;randNorm(sd, mean, n); where \verb;n; is the number of samples. Show histogram with Histogram key in top left
-      \item To calculate parameters of a dataset: Calc \(\rightarrow\) One-variable
-    \end{itemize}
-
-  \end{cas}
-
-  \subsection*{Normal distributions}
-
-
-  \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
-
-  Normal distributions must have area (total prob.) of 1 \(\implies \int^\infty_{-\infty} f(x) \> dx = 1\) \\
-  \(\text{mean} = \text{mode} = \text{median}\)
-
-  \begin{warning}
-    Always express \(z\) as +ve. Express confidence \textit{interval} as ordered pair.
-  \end{warning}
-
-  \pgfmathdeclarefunction{gauss}{2}{%
-    \pgfmathparse{1/(#2*sqrt(2*pi))*exp(-((x-#1)^2)/(2*#2^2))}%
-  }
-  \pgfkeys{/pgf/decoration/.cd,
-    distance/.initial=10pt
-  }
-  \pgfdeclaredecoration{add dim}{final}{
-    \state{final}{% 
-      \pgfmathsetmacro{\dist}{5pt*\pgfkeysvalueof{/pgf/decoration/distance}/abs(\pgfkeysvalueof{/pgf/decoration/distance})}    
-      \pgfpathmoveto{\pgfpoint{0pt}{0pt}}             
-      \pgfpathlineto{\pgfpoint{0pt}{2*\dist}}   
-      \pgfpathmoveto{\pgfpoint{\pgfdecoratedpathlength}{0pt}} 
-      \pgfpathlineto{\pgfpoint{(\pgfdecoratedpathlength}{2*\dist}}     
-      \pgfsetarrowsstart{latex}
-      \pgfsetarrowsend{latex}
-      \pgfpathmoveto{\pgfpoint{0pt}{\dist}}
-      \pgfpathlineto{\pgfpoint{\pgfdecoratedpathlength}{\dist}} 
-      \pgfusepath{stroke} 
-      \pgfpathmoveto{\pgfpoint{0pt}{0pt}}
-      \pgfpathlineto{\pgfpoint{\pgfdecoratedpathlength}{0pt}}
-    }}
-    \tikzset{dim/.style args={#1,#2}{decoration={add dim,distance=#2},
-      decorate,
-      postaction={decorate,decoration={text along path,
-      raise=#2,
-      text align={align=center},
-      text={#1}}}}
-    }
-    \begin{figure*}[hb]
-      \centering
-      \begin{tikzpicture}
-        \begin{axis}[every axis plot post/.style={
-            mark=none,domain=-3:3,samples=50,smooth}, 
-          axis x line=bottom, 
-          axis y line=left,
-          enlargelimits=upper,
-          x=\textwidth/10,
-          ytick={0.55},
-          yticklabels={\(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\)}, 
-          xtick={-2,-1,0,1,2},
-          x tick label style = {font=\footnotesize},
-          xticklabels={\((\mu-2\sigma)\), \((\mu-\sigma)\), \(\mu\), \((\mu+\sigma)\), \((\mu+2\sigma)\)},
-          xlabel={\(x\)},
-          every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=north west},
-          every axis y label/.style={at={(axis description cs:-0.02,0.2)}, anchor=south west, rotate=90},
-          ylabel={\(\Pr(X=x)\)}]
-          \addplot {gauss(0,0.75)};
-          \fill[red!30] (-3,0)  -- plot[id=f3,domain=-3:3,samples=50] function {1/(0.75*sqrt(2*pi))*exp(-((x)^2)/(2*0.75^2))} -- (3,0) -- cycle;
-          \fill[darkgray!30] (3,0)  -- plot[id=f3,domain=-3:3,samples=50] function {1/(0.75*sqrt(2*pi))*exp(-x*x*0.5/(0.75*0.75))} -- (3,0) -- cycle;
-          \fill[lightgray!30] (-2,0)  -- plot[id=f3,domain=-2:2,samples=50] function {1/(0.75*sqrt(2*pi))*exp(-x*x*0.5/(0.75*0.75))} -- (2,0) -- cycle;
-          \fill[white!30] (-1,0)  -- plot[id=f3,domain=-1:1,samples=50] function {1/(0.75*sqrt(2*pi))*exp(-x*x*0.5/(0.75*0.75))} -- (1,0) -- cycle;
-          \begin{scope}[<->]
-            \draw (-1,0.35) -- (1,0.35) node [midway, fill=white] {68.3\%};
-            \draw (-2,0.25) -- (2,0.25) node [midway, fill=white] {95.5\%};
-            \draw (-3,0.15) -- (3,0.15) node [midway, fill=white] {99.7\%};
-          \end{scope}
-          \begin{scope}[-, dashed, gray]
-            \draw (-1,0) -- (-1, 0.35);
-            \draw (1,0) -- (1, 0.35);
-            \draw (-2,0) -- (-2, 0.25);
-            \draw (2,0) -- (2, 0.25);
-            \draw (-3,0) -- (-3, 0.15);
-            \draw (3,0) -- (3, 0.15);
-          \end{scope}
-        \end{axis}
-        \begin{axis}[every axis plot post/.append style={
-            mark=none,domain=-3:3,samples=50,smooth}, 
-          axis x line=bottom, 
-          enlargelimits=upper,
-          x=\textwidth/10,
-          xtick={-2,-1,0,1,2},
-          axis x line shift=30pt,
-          hide y axis,
-          x tick label style = {font=\footnotesize},
-          xlabel={\(Z\)},
-          every axis x label/.style={at={(axis description cs:1,-0.25)},anchor=south west}]
-          \addplot {gauss(0,0.75)};
-        \end{axis}
-      \end{tikzpicture}
-    \end{figure*}
-
-  \subsection*{Confidence intervals}
+\begin{cas}
+  Menu \(\rightarrow\) Stats \(\rightarrow\) Calc \(\rightarrow\) Interval \\
+  Set \textit{Type = One-Sample Z Int} \\ \-\hspace{1em} and select \textit{Variable}
+\end{cas}
 
-  \begin{itemize}
-    \item \textbf{Point estimate:} single-valued estimate of the population mean from the value of the sample mean \(\overline{x}\)
-    \item \textbf{Interval estimate:} confidence interval for population mean \(\mu\)
-    \item \(C\)\% confidence interval \(\implies\) \(C\)\% of samples will contain population mean \(\mu\)
-  \end{itemize}
+\subsubsection*{95\% confidence interval}
 
-  \subsubsection*{95\% confidence interval}
+For 95\% c.i. of population mean \(\mu\):
 
-  For 95\% c.i. of population mean \(\mu\):
+\[ x \in \left(\overline{x} \pm 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]
 
-  \[ x \in \left(\overline{x} \pm 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]
+where:
+\begin{description}[nosep, labelindent=0.5cm]
+  \item \(\overline{x}\) is the sample mean
+  \item \(\sigma\) is the population sd
+  \item \(n\) is the sample size from which \(\overline{x}\) was calculated
+\end{description}
 
-  where:
-    \begin{description}[nosep, labelindent=0.5cm]
-    \item \(\overline{x}\) is the sample mean
-    \item \(\sigma\) is the population sd
-    \item \(n\) is the sample size from which \(\overline{x}\) was calculated
-  \end{description}
+\subsubsection*{Confidence interval of \(p\) from \(\hat{p}\)}
 
-  \begin{cas}
-    Menu \(\rightarrow\) Stats \(\rightarrow\) Calc \(\rightarrow\) Interval \\
-    Set \textit{Type = One-Sample Z Int} \\ \-\hspace{1em} and select \textit{Variable}
-  \end{cas}
+\[ x \in \left( \hat{p} \pm Z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right) \]
 
-  \subsection*{Margin of error}
+\subsection*{Margin of error}
 
-  For 95\% confidence interval of \(\mu\):
-  \begin{align*}
-    M &= 1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \\
-    &= \dfrac{1}{2} \times \text{width of c.i.} \\
-    \implies n &= \left( \dfrac{1.96 \sigma}{M} \right)^2
-  \end{align*}
+For 95\% confidence interval of \(\mu\):
+\begin{align*}
+  M &= 1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \\
+  &= \dfrac{1}{2} \times \text{width of c.i.} \\
+  \implies n &= \left( \dfrac{1.96 \sigma}{M} \right)^2
+\end{align*}
 
-  Always round \(n\) up to a whole number of samples.
+Always round \(n\) up to a whole number of samples.
 
-  \subsection*{General case}
+\subsection*{General case}
 
-  For \(C\)\% c.i. of population mean \(\mu\):
+For \(C\)\% c.i. of population mean \(\mu\):
 
-  \[ x \in \left( \overline{x} \pm k \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
-  \hfill where \(k\) is such that \(\Pr(-k < Z < k) = \frac{C}{100}\)
+\[ x \in \left( \overline{x} \pm k \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
+\hfill where \(k\) is such that \(\Pr(-k < Z < k) = \frac{C}{100}\)
 
-  \begin{cas}
-    Menu \(\rightarrow\) Stats \(\rightarrow\) Calc \(\rightarrow\) Interval \\
-    Set \textit{Type = One-\colorbox{important}{Prop} Z Int} \\
-    Input  x \(= \hat{p} * n\)
-  \end{cas}
+\begin{cas}
+  Menu \(\rightarrow\) Stats \(\rightarrow\) Calc \(\rightarrow\) Interval \\
+  Set \textit{Type = One-\colorbox{important}{Prop} Z Int} \\
+  Input  x \(= \hat{p} * n\)
+\end{cas}
 
-  \subsection*{Confidence interval for multiple trials}
+\subsection*{Confidence interval for multiple trials}
 
-  For a set of \(n\) confidence intervals (samples), there is \(0.95^n\) chance that all \(n\) intervals contain the population mean \(\mu\).
+For a set of \(n\) confidence intervals (samples), there is \(0.95^n\) chance that all \(n\) intervals contain the population mean \(\mu\).
 
-  \end{document}
+\end{document}