[spec] double derivatives
[notes.git] / spec / calculus.md
index 08cfe8f7a206ba4b2ff1a1ff4d818314215c8e39..ee880685f6e7af164317681ea73ce5ec9b557e45 100644 (file)
@@ -111,8 +111,6 @@ $y=u^7$
 ${dy \over du} = 7u^6$  
 
 
-$7u^6 \times$
-
 ## Product rule for $y=uv$
 
 $${dy \over dx} = u{dv \over dx} + v{du \over dx}$$
@@ -135,12 +133,14 @@ Wikipedia:
 
 > the logarithm of a given number $x$ is the exponent to which another fixed number, the base $b$, must be raised, to produce that number $x$
 
-### Logarithmic identities  
+### Logarithmic identities
+
 $\log_b (xy)=\log_b x + \log_b y$  
 $\log_b x^n = n \log_b x$  
 $\log_b y^{x^n} = x^n \log_b y$
 
 ### Index identities
+
 $b^{m+n}=b^m \cdot b^n$  
 $(b^m)^n=b^{m \cdot n}$  
 $(b \cdot c)^n = b^n \cdot c^n$  
@@ -154,7 +154,7 @@ $$\ln x = \log_e x$$
 ### Differentiating logarithms
 $${d(\log_e x)\over dx} = x^{-1} = {1 \over x}$$
 
-## Solving $e^x$ etc
+## Derivative rules
 
 | $f(x)$ | $f^\prime(x)$ |xs
 | ------ | ------------- |
@@ -162,6 +162,7 @@ $${d(\log_e x)\over dx} = x^{-1} = {1 \over x}$$
 | $\sin ax$ | $a\cos ax$ |
 | $\cos x$ | $-\sin x$ |
 | $\cos ax$ | $-a \sin ax$ |
+| $\tan f(x)$ | $f^2(x) \sec^2f(x)$ |
 | $e^x$ | $e^x$ |
 | $e^{ax}$ | $ae^{ax}$ |
 | $ax^{nx}$ | $an \cdot e^{nx}$ |
@@ -169,9 +170,40 @@ $${d(\log_e x)\over dx} = x^{-1} = {1 \over x}$$
 | $\log_e {ax}$ | $1 \over x$ |
 | $\log_e f(x)$ | $f^\prime (x) \over f(x)$ |
 | $\sin(f(x))$ | $f^\prime(x) \cdot \cos(f(x))$ |
+| $\sin^{-1} x$ | $1 \over {\sqrt{1-x^2}}$ |
+| $\cos^{-1} x$ | $-1 \over {sqrt{1-x^2}}$ |
+| $\tan^{-1} x$ | $1 \over {1 + x^2}$ |
 
 <!-- $${d(ax^{nx}) \over dx} = an \cdot e^nx$$ -->
 
+Reciprocal derivatives:
+
+$${{dy \over dx} \over 1} = dx \over dy$$
+
+## Differentiating $x=f(y)$
+
+Find $dx \over dy$. Then $dx \over dy = {1 \over {dy \over dx}} \therefore {dy \over dx} = {1 \over {dx \over dy}}$.
+
+$${dy \over dx} = {1 \over {dx \over dy}}$$
+
+## Second derivative
+
+$$f(x) \implies f^\prime (x) \implies f^{\prime\prime}(x)$$
+
+$$\therefore y \implies {dy \over dx} \implies {d({dy \over dx}) \over dx} \implies {d^2 y \over dx^2}$$
+
+Order of polynomial $n$th derivative decrements each time the derivative is taken
+
+### Maxima and minima
+
+- if $f^\prime (a) = 0$ and $f^{\prime\prime}(a) > 0$, then point $(a, f(a))$ is a local min (curve is concave up)
+
+- if $f^\prime (a) = 0$ and $f^{\prime\prime} (a) < 0$, then point $(a, f(a))$ is local max (curve is concave down)
+- if $f^{\prime\prime}(a) = 0$, then point $(a, f(a))$ is a point of inflection
+- - if also $f^\prime(a)=0$, then it is a stationary point of inflection
+
+*Point of inflection* - point of maximum gradient (either +ve or -ve)
+
 ## Antidifferentiation
 
 $$y={x^{n+1} \over n+1} + c$$
@@ -192,9 +224,9 @@ $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
 
 | $f(x)$                          | $\int f(x) \cdot dx$         |
 | ------------------------------- | ---------------------------- |
-| $k$ (constant)                  | $kx + c$                     |
-| $x^n$         | ${1 \over {n+1}}x^{n+1} + c$ |
-| $a \cdot {1 \over x}$ | $a \cdot \log_e x + c$ |
+| $k$ (constant) | $kx + c$ |
+| $x^n$ | ${1 \over {n+1}}x^{n+1} + c$ |
+| $a x^{-n}$ | $a \cdot \log_e x + c$ |
 | $e^{kx}$ | ${1 \over k} e^{kx} + c$ |
 | $e^k$ | $e^kx + c$ |
 | $\sin kx$ | $-{1 \over k} \cos (kx) + c$ |
@@ -202,5 +234,14 @@ $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
 | ${f^\prime (x)} \over {f(x)}$ | $\log_e f(x) + c$ |
 | $g^\prime(x)\cdot f^\prime(g(x)$ | $f(g(x))$ (chain rule)|
 | $f(x) \cdot g(x)$ | $\int [f^\prime(x) \cdot g(x)] dx + \int [g^\prime(x) f(x)] dx$ |
+| ${1 \over {ax+b}}$ | ${1 \over a} \log_e (ax+b) + c$ |
+| $(ax+b)^n$ | ${1 \over {a(n+1)}}(ax+b)^{n-1} + c$ |
+
+## Applications of antidifferentiation
+
+- $x$-intercepts of $y=f(x)$ identify $x$-coordinates of stationary points on $y=F(x)$
+- the nature of any stationary point of $y=F(x)$ is determined by the way the sign of the graph of $y=f(x)$ changes about its $x$-intercepts
+- if $f(x)$ is a polynomial of degree $n$, then $F(x)$ has degree $n+1$
 
+To find stationary points of a function, substitute $x$ value of given point into derivative. Solve for ${dy \over dx}=0$. Integrate to find original function.