[spec] minor clarifications to calculus section of sac notes
[notes.git] / physics / final.tex
index b37f67c8200e0d80eea913ff55dc54b24b10471e..9a64a9d6f0fa7e79b760a9d24325f5cb4bd1f027 100644 (file)
 
     $\Sigma F, a$ towards centre, $v$ tangential
 
-    $F_{centrip} = {{mv^2} \over r} = {{4 \pi^2 rm} \over T^2}$
+    $\Sigma F = F_{centrip} = {{mv^2} \over r} = {{4 \pi^2 rm} \over T^2}=T \sin \theta = mg \tan \theta$
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/circ-forces.png}
 
 % -----------------------
   \subsection*{Vertical circular motion}
 
-    $T =$ tension, e.g. circular pendulum
+    $T =$ tension, e.g. circular pendulum
 
-    $T+mg = {{mv^2}\over r}$ at highest point
+    $T+mg = {{mv^2}\over r}, v = \sqrt{rg}$ (top)
 
-    $T-mg = {{mv^2} \over r}$ at lowest point
+    $T-mg = {{mv^2} \over r}, v = \sqrt{2rg}$ (bottom)
 
     $E_K_{\text{bottom}}=E_K_{\text{top}}+mgh$
 
       \item vertical component gravity: $a_y = -g$
     \end{itemize}
 
-    \begin{align*}
-      v=\sqrt{v^2_x + v^2_y} \tag{vectors} \\
-      h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g} \tag{max height}\\
-      x=ut\cos\theta \tag{$\Delta x$ at $t$} \\
-      y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2 \tag{height at $t$} \\
-      t={{2u\sin\theta}\over g} \tag{time of flight}\\
-      d={v^2 \over g}\sin \theta \tag{horiz. range} \\
-    \end{align*}
+    \begin{align*}
+      $v=\sqrt{v^2_x + v^2_y}$ \hfill vectors \\
+      $h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g}$ \hfill max height \\
+      $x=ut\cos\theta$ \hfill $\Delta x$ at $t$ \\
+      $y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2$ \hfill height at $t$ \\
+      $t={{2u\sin\theta}\over g}$ \hfill time of flight \\
+      $d={v^2 \over g}\sin \theta$ \hfill horiz. range \\
+    \end{align*}
 
     \includegraphics[height=3.2cm]{graphics/projectile-motion.png}
 
       \item{Force-time: $A=\Delta \rho$}
       \item{Force-disp: $A=W$}
       \item{Force-ext: $m=k,\quad A=E_{spr}$}
-      \item{Force-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe}$}
+      \item{$F_g$-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe}$}
       \item{Field-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe} / \operatorname{kg}$}
     \end{itemize}
 
 
   $x={2mg \over k}$
 
+  Vertical: $\Delta E = {1 \over 2}kx^2 + mgh
+
 % -----------------------
   \subsection*{Motion equations}
 
 % -----------------------
   \subsection*{Lorentz factor}
 
-    $$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}$$
+    $$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}, \quad v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
 
     $t=t_0 \gamma$ ($t$ longer in moving frame)
 
 
     $m=m_0 \gamma$ (mass dilation)
 
-    $$v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
-
 % -----------------------
   \subsection*{Energy and work}
 
+  Total energy = mass energy
+
     $E_{\text{rest}} = mc^2, \quad E_K = (\gamma-1)mc^2$
 
-    $E_{\text{total}} = E_K + E_{\text{rest}} = \gamma mc^2$
+    $E_{\text{total}} = \gamma E_{\text{rest}} = E_K + E_{\text{rest}} = \gamma mc^2$
 
     $W = \Delta E = \Delta mc^2=(\gamma-1)m_{\text{rest}} c^2$
 
 
     \begin{itemize}
       \item monopoles: lines towards centre
-      \item dipoles: field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (or perpendicular to wire)
+      \item dipoles: field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (two magnets) or $\rightarrow$ N (single)
       \item closer field lines means larger force
       \item dot: out of page, cross: into page
       \item +ve corresponds to N pole
+      \item Inv. sq. ${E_1 \over E_2} = ({r_2 \over r_1})^2$
     \end{itemize}
 
     \includegraphics[height=2cm]{graphics/field-lines.png}
 
     \[v=\sqrt{GM \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}\]
 
-    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^3 \over {GM}}}\tag{period}\]
+    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^3 \over {GM}}}=2 \pi \sqrt{r_{\text{alt}} \over g_{\text{alt}}}\tag{period}\]
 
     \[r = \sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}\]
 
 % -----------------------
   \subsection*{Magnetic fields}
-    \begin{itemize}
-      \item field strength $B$ measured in tesla
-      \item magnetic flux $\Phi$ measured in weber
-      \item charge $q$ measured in coulombs
-      \item emf $\mathcal{E}$ measured in volts
-    \end{itemize}
+    \begin{itemize}
+      \item field strength $B$ measured in tesla
+      \item magnetic flux $\Phi$ measured in weber
+      \item charge $q$ measured in coulombs
+      \item emf $\mathcal{E}$ measured in volts
+    \end{itemize}
 
     % \[{E_1 \over E_2}={r_1 \over r_2}^2\]
 
     \[{V_p \over V_s}={N_p \over N_s}={I_s \over I_p} \tag{xfmr coil ratios} \]
 
     \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$ \\
-    (emf creates $I$ with associated field that opposes $\Delta \phi$)
+    (emf creates $I$ with associated field that opposes $\Delta \Phi$)
 
     \textbf{Eddy currents:} counter movement within a field
 
     \textbf{Right hand grip:} thumb points to $I$ (single wire) or N (solenoid / coil)
 
+    \textbf{Magnet through ring:} consider $g$
+
     \includegraphics[height=2cm]{graphics/slap-2.jpeg}
     \includegraphics[height=3cm]{graphics/grip.png}
 
 
     \textbf{Xfmr} core strengthens \& focuses $\Phi$
 
+    \columnbreak
+
 % -----------------------
   \subsection*{Particle acceleration}
 
     e- accelerated with $x$ V is given $x$ eV
 
     \[W={1\over2}mv^2=qV \tag{field or points}\]
+    \[V_{\text{point}} = (V_1 - V_2) \div 2 \tag{if midpoint} \]
     \[v=\sqrt{{2qV} \over {m}}\tag{velocity of particle}\]
 
     Circular path: $F\perp B \perp v$
   \subsection*{Power transmission}
 
     % \begin{align*}
-      \[V_{\operatorname{rms}}={V_{\operatorname{p\rightarrow p}}\over \sqrt{2}} \]
+      \[V_{\operatorname{rms}}={V_{\operatorname{p}}\over \sqrt{2}}={V_{\operatorname{p\rightarrow p}}\over {2 \sqrt{2}}} \]
       \[P_{\operatorname{loss}} = \Delta V I = I^2 R = {{\Delta V^2} \over R} \]
       \[V_{\operatorname{loss}}=IR \]
     % \end{align*}
       {\item Series $V$ shared within branch}
     \end{itemize}
 
-    \includegraphics[height=4cm]{graphics/ac-generator.png}
-
 % -----------------------
   \subsection*{Motors}
 % \begin{wrapfigure}{r}{-0.1\textwidth}
 
     \includegraphics[height=4cm]{graphics/dc-motor-2.png}
-    \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+    % \includegraphics[height=3cm]{graphics/ac-motor.png} \\
+    \includegraphics[height=4cm]{graphics/ac-generator.png} \\
 
-    Force on current-carying wire, not copper \\
+    Force on I-carying wire, not Cu \\
     $F=0$ for front & back of coil (parallel) \\
     Any angle $> 0$ will produce force \\
 % \end{wrapfigure}
   % -----------------------
   \subsection*{Polarisation}
   \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/polarisation.png} \\
-  Reduces total amplitude (transverse only)
+  Transverse only. Reduces total $A$.
 
   % -----------------------
   \subsection*{Diffraction}
     % \(\Delta x\) = fringe spacing \\
     \(l\) = distance from source to observer\\
     \(d\) = separation between each wave source (e.g. slit) \(=S_1-S_2\)
-    \item diffraction $\propto {\lambda \over d}$
+    \item diffraction $\propto {\lambda \over d} \propto$ fringe spacing
+    \item $d(|\overrightarrow{S_1W}|-|\overrightarrow{S_2W}|)=d \Delta x = \lambda l$
     \item significant diffraction when ${\lambda \over \Delta x} \ge 1$
-    \item diffraction creates distortion (electron $>$ optical microscopes)
+    \item diffraction creates distortion (electron $\gt$ optical microscopes)
   \end{itemize}
 
 
   \subsection*{Refraction}
   \includegraphics[height=3.5cm]{graphics/refraction.png}
 
-  When a medium changes character, light is \emph{reflected}, \emph{absorbed}, and \emph{transmitted}
+  When a medium changes character, light is \emph{reflected}, \emph{absorbed}, and \emph{transmitted}. $\lambda$ changes, not $f$. $n$ changes slightly with $f$ (dispersion)
 
   angle of incidence $\theta_i =$ angle of reflection $\theta_r$
 
@@ -547,19 +555,21 @@ $f \cdot V$ & ${h \over q}$ & $f_0$ & $-\phi \over q$ &
     \item $E$ and $f$ of photon: $E_2 - E_1 = hf = {hc \over \lambda}$
     \item Ionisation energy - min $E$ required to remove e-
     \item EMR is absorbed/emitted when $E_{\operatorname{K-in}}=\Delta E_{\operatorname{shells}}$ (i.e. $\lambda = {hc \over \Delta E_{\operatorname{shells}}}$)
-    \item No. of lines - include all possible states
+    \item No. of lines - include all possible states. \Delta E \ne |\Delta E|
   \end{itemize}
 
   \subsection*{Uncertainty principle}
 
-  measuring location of an e- requires hitting it with a photon, but this causes $\rho$ to be transferred to electron, moving it.
+  $\Delta x \approx {\text{slit width} \over 2$}
+
+  measurement: $\rho$ transferred to e-\\ slit: possibility of diff. before slit
 
   \subsection*{Wave-particle duality}
 
   \subsubsection*{wave model}
   \begin{itemize}
-    \item cannot explain photoelectric effect
-    \item $f$ is irrelevant to photocurrent
+    \item cannot explain photoelectric effect
+    \item any $f$ works, given $t$
     \item predicts delay between incidence and ejection
     \item speed depends on medium
     \item supported by bright spot in centre
@@ -569,9 +579,10 @@ $f \cdot V$ & ${h \over q}$ & $f_0$ & $-\phi \over q$ &
   \subsubsection*{particle model}
 
   \begin{itemize}
-    \item explains photoelectric effect
+    \item explains photoelectric effect
     \item rate of photoelectron release $\propto$ intensity
     \item no time delay - one photon releases one electron
+    \item threshold frequency
     \item double slit: photons interact. interference pattern still appears when a dim light source is used so that only one photon can pass at a time
     \item light exerts force
     \item light bent by gravity
@@ -609,4 +620,8 @@ $f \cdot V$ & ${h \over q}$ & $f_0$ & $-\phi \over q$ &
 
 \end{multicols}
 
+\begin{center}
+  \includegraphics[height=2.95cm]{graphics/spectrum.png}
+\end{center}
+
 \end{document}