[methods] graphing exponential functions
[notes.git] / methods / polynomials.md
index a8b56af1c7eea954695cedcfb73b0b0fc2fc74c1..a2fe7b334ce874c55d9618fff171824c2a74f462 100644 (file)
@@ -1,3 +1,7 @@
+---
+geometry: margin=1.5cm
+---
+
 # Polynomials
 
 ## Factorising
 
 ## Linear and quadratic graphs
 
-$$y=mx+c, \quad {x \over a} + {y \over b}=1$$
+### Forms of linear equations
+
+$y=mx+c$ where $m$ is gradient and $c$ is $y$-intercept  
+${x \over a} + {y \over b}=1$ where $m$ is gradient and $(x_1, y_1)$ lies on the graph  
+$y-y_1 = m(x-x_1)$ where $(a,0)$ and $(0,b)$ are $x$- and $y$-intercepts
+
+## Line properties
 
-Parallel lines - $m_1 = m_2$  
-Perpendicular lines - $m_1 \times m_2 = -1$
+Parallel lines: $m_1 = m_2$  
+Perpendicular lines: $m_1 \times m_2 = -1$  
+Distance: $\vec{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
 
 
 ## Cubic graphs
@@ -34,24 +45,17 @@ $$y=a(x-b)^3 + c$$
 
 ## Quartic graphs
 
-$$y=ax^4$$
-
-$$=a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$$
-
-$$=ax^4+cd^2 (c \ge 0)$$
-
-$$=ax^2(x-b)(x-c)$$
-
-$$=a(x-b)^2(x-c)^2$$
-
-$$=a(x-b)(x-c)^3$$
-
-where
-- $x$-intercepts at $x=b,c,d,e$
+### Forms of quadratic equations
+$y=ax^4$  
+$y=a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$  
+$y=ax^4+cd^2 (c \ge 0)$  
+$y=ax^2(x-b)(x-c)$  
+$y=a(x-b)^2(x-c)^2$  
+$y=a(x-b)(x-c)^3$
 
 ## Literal equations
 
-Equations with multiple pronumerals. Solutions are expressed in terms of pronumerals (parameters))
+Equations with multiple pronumerals. Solutions are expressed in terms of pronumerals (parameters)
 
 ## Simultaneous equations (linear)
 
@@ -59,5 +63,32 @@ Equations with multiple pronumerals. Solutions are expressed in terms of pronume
 - **Infinitely many solutions** - lines are equal
 - **No solution** - lines are parallel
 
-Solving in matrix form - use inverse $A^{-1}= {1 \over {ad-bc}}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$. $A^{-1}$ exists for infinite solutions or no solutions ($ad-bc=0$), does not exist for unique solutions ($ad-bc \ne 0$).  
-Or use Matrix -> `det` on CAS.
\ No newline at end of file
+### Solving $\protect\begin{cases}px + qy = a \\ rx + sy = b\protect\end{cases}$ for one, infinite and no solutions
+
+where all coefficients are known except for one, and $a, b$ are known
+
+1. Write as matrices: $\begin{bmatrix}p & q \\ r & s \end{bmatrix}
+  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
+  =
+  \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$
+2. Find determinant of first matrix: $\Delta = ps-qr$
+3. Let $\Delta = 0$ for number of solutions $\ne 1$  
+   or let $\Delta \ne 0$ for one unique solution.
+4. Solve determinant equation to find variable  
+   - *--- for infinite/no solutions: ---*
+5. Substitute variable into both original equations
+6. Rearrange equations so that LHS of each is the same
+7. If $\text{RHS}(1) = \text{RHS}(2)$, lines are coincident (infinite solutions)  
+   If $\text{RHS}(1) \ne \text{RHS}(2)$, lines are parallel (no solutions)
+
+Or use Matrix -> `det` on CAS.
+
+### Solving $\protect\begin{cases}a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\
+a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\
+a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3\protect\end{cases}$
+
+- Use elimination
+- Generate two new equations with only two variables
+- Rearrange & solve
+- Substitute one variable into another equation to find another variable
+- etc.
\ No newline at end of file