[english] finish plan for oral presentation
[notes.git] / methods / polynomials.md
index c3d38f37b609cecf6e5d3d8f42a086762757ca04..6a4cf980115eb6f4c87e04a4ba7a8e4880a3f028 100644 (file)
@@ -1,20 +1,53 @@
+---
+geometry: a4paper, margin=2cm
+columns: 2
+author: Andrew Lorimer
+header-includes:
+- \usepackage{setspace}
+- \usepackage{fancyhdr}
+- \pagestyle{fancy}
+- \fancyhead[LO,LE]{Year 12 Methods}
+- \fancyhead[CO,CE]{Andrew Lorimer}
+- \usepackage{graphicx}
+- \usepackage{tabularx}
+- \usepackage[dvipsnames]{xcolor}
+---
+
+\setstretch{1.3}
+\definecolor{cas}{HTML}{e6f0fe}
+\pagenumbering{gobble}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+
 # Polynomials
 
-## Factorising
+## Quadratics
+
+\newcolumntype{R}{>{\raggedleft\arraybackslash}X}
+\begin{tabularx}{\columnwidth}{Rl}
+  General form& \parbox[t]{5cm}{$x^2 + bx + c = (x+m)(x+n)$\\ where $mn=c, \> m+n=b$} \\
+  \hline
+  Difference of squares & $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ \\
+  \hline
+  Perfect squares & \parbox[c]{5cm}{$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b^2)$} \\
+  \hline
+  Completing the square & \parbox[t]{5cm}{$x^2+bx+c=(x+{b\over2})^2+c-{b^2\over4}$ \\ $ax^2+bx+c=a(x-{b\over2a})^2+c-{b^2\over4a}$} \\
+  \hline
+  Quadratic formula & $x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over2a}$ where $\Delta=b^2-4ac$ \\
+\end{tabularx}
 
-#### Quadratics
-**Quadratics:** $x^2 + bx + c = (x+m)(x+n)$ where $mn=c$, $m+n=b$  
-**Difference of squares:** $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$  
-**Perfect squares:** $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b^2)$  
-**Completing the square (monic):** $x^2+bx+c=(x+{b\over2})^2+c-{b^2\over4}$  
-**Completing the square (non-monic):** $ax^2+bx+c=a(x-{b\over2a})^2+c-{b^2\over4a}$  
-**Quadratic formula:** $x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over2a}$ where $\Delta=b^2-4ac$ (if $\Delta$ is a perfect square, rational roots)
+## Cubics
 
-#### Cubics
 **Difference of cubes:** $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$  
 **Sum of cubes:** $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$  
 **Perfect cubes:** $a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3$  
 
+$$y=a(bx-h)^3 + c$$
+
+- $m=0$ at *stationary point of inflection* (i.e. (${h \over b}, k)$)
+- in form $y=(x-a)^2(x-b)$, local max at $x=a$, local min at $x=b$
+- in form $y=a(x-b)(x-c)(x-d)$: $x$-intercepts at $b, c, d$
+- in form $y=a(x-b)^2(x-c)$, touches $x$-axis at $b$, intercept at $c$
+
 ## Linear and quadratic graphs
 
 ### Forms of linear equations
@@ -27,17 +60,7 @@ $y-y_1 = m(x-x_1)$ where $(a,0)$ and $(0,b)$ are $x$- and $y$-intercepts
 
 Parallel lines: $m_1 = m_2$  
 Perpendicular lines: $m_1 \times m_2 = -1$  
-Distance: $\vec{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
-
-
-## Cubic graphs
-
-$$y=a(x-b)^3 + c$$
-
-- $m=0$ at *stationary point of inflection*
-- in form $y=(x-a)^2(x-b)$, local max at $x=a$, local min at $x=b$
-- in form $y=a(x-b)(x-c)(x-d)$: $x$-intercepts at $b, c, d$
-
+Distance: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
 
 ## Quartic graphs
 
@@ -49,19 +72,13 @@ $y=ax^2(x-b)(x-c)$
 $y=a(x-b)^2(x-c)^2$  
 $y=a(x-b)(x-c)^3$
 
-## Literal equations
-
-Equations with multiple pronumerals. Solutions are expressed in terms of pronumerals (parameters)
-
 ## Simultaneous equations (linear)
 
 - **Unique solution** - lines intersect at point
 - **Infinitely many solutions** - lines are equal
 - **No solution** - lines are parallel
 
-
-
-### Solving $\begin{cases}px + qy = a \\ rx + sy = b\end{cases}$ for one, infinite and no solutions
+### Solving $\protect\begin{cases}px + qy = a \\ rx + sy = b\protect\end{cases} \>$ for $\{0,1,\infty\}$ solutions
 
 where all coefficients are known except for one, and $a, b$ are known
 
@@ -76,17 +93,17 @@ where all coefficients are known except for one, and $a, b$ are known
    - *--- for infinite/no solutions: ---*
 5. Substitute variable into both original equations
 6. Rearrange equations so that LHS of each is the same
-7. If $\text{RHS}(1) = \text{RHS}(2)$, lines are coincident (infinite solutions)  
-   If $\text{RHS}(1) \ne \text{RHS}(2)$, lines are parallel (no solutions)
+7. $\text{RHS}(1) = \text{RHS}(2) \implies (1)=(2) \> \forall x$ ($\infty$ solns)  
+   $\text{RHS}(1) \ne \text{RHS}(2) \implies (1)\ne(2) \> \forall x$ (0 solns)
 
-Or use Matrix -> `det` on CAS.
+\colorbox{cas}{On CAS:} Matrix $\rightarrow$ `det`
 
-### Solving $\begin{cases}a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\
+### Solving $\protect\begin{cases}a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\
 a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\
-a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3\end{cases}$
+a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3\protect\end{cases}$
 
 - Use elimination
 - Generate two new equations with only two variables
 - Rearrange & solve
 - Substitute one variable into another equation to find another variable
-- etc.
\ No newline at end of file
+- etc.