[spec] add formula for length of a parametric curve
[notes.git] / spec / calculus.md
index b4540728a25ac9152219336c09153889850573d9..43cf752fc9da76c5fece553dbecaeed0be5d433f 100644 (file)
@@ -254,6 +254,18 @@ $$\int_a^b f(x) \cdot dx = [F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$
 - *Integrand* is $f$.
 - $F(x)$ may be any integral, i.e. $c$ is inconsequential
 
+#### Properties
+
+$$\int^b_a f(x) \> dx = \int^c_a f(x) \> dx + \int^b_c f(x) \> dx$$
+
+$$\int^a_a f(x) \> dx = 0$$
+
+$$\int^b_a k \cdot f(x) \> dx = k \int^b_a f(x) \> dx$$
+
+$$\int^b_a f(x) \pm g(x) \> dx = \int^b_a f(x) \> dx \pm \int^b_a g(x) \> dx$$
+
+$$\int^b_a f(x) \> dx = - \int^a_b f(x) \> dx$$
+
 ### Integration by substitution
 
 $$\int f(u) {du \over dx} \cdot dx = \int f(u) \cdot du$$
@@ -292,10 +304,15 @@ Use identities:
 - $\cos^2x={1 \over 2}(1+\cos 2x)$
 - $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
 
-### Partial fractions
+## Partial fractions
+
+On CAS: Action $\rightarrow$ Transformation $\rightarrow$ `expand/combine`  
+or Interactive $\rightarrow$ Transformation $\rightarrow$ `expand` $\rightarrow$ Partial
 
-On CAS: Action $\rightarrow$ Transformation $\rightarrow$ `expand/combine`
+## Graphing integrals on CAS
 
+In main: Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ $\int$ ($\rightarrow$ Definite)  
+Restrictions: `Define f(x)=...` $\rightarrow$ `f(x)|x>1` (e.g.)
 
 ## Applications of antidifferentiation
 
@@ -305,13 +322,44 @@ On CAS: Action $\rightarrow$ Transformation $\rightarrow$ `expand/combine`
 
 To find stationary points of a function, substitute $x$ value of given point into derivative. Solve for ${dy \over dx}=0$. Integrate to find original function.
 
+## Solids of revolution
+
+Approximate as sum of infinitesimally-thick cylinders
+
+### Rotation about $x$-axis
+
+\begin{align*}
+  V &= \int^{x=b}_{x-a} \pi y^2 \> dx \\
+    &= \pi \int^b_a (f(x))^2 \> dx
+\end{align*}
+
+### Rotation about $y$-axis
+
+\begin{align*}
+  V &= \int^{y=b}_{y=a} \pi x^2 \> dy \\
+    &= \pi \int^b_a (f(y))^2 \> dy
+\end{align*}
+
+### Regions not bound by $y=0$
+
+$$V = \pi \int^b_a f(x)^2 - g(x)^2 \> dx$$  
+where $f(x) > g(x)$
+
+## Length of a curve
+
+$$L = \int^b_a \sqrt{1 + ({dy \over dx})^2} \> dx \quad \text{(Cartesian)}$$
+
+$$L = \int^b_a \sqrt{{dx \over dt} + ({dy \over dt})^2} \> dt \quad \text{(parametric)}$$
+
+Evaluate on CAS. Or use Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ Line $\rightarrow$ `arcLen`.
+
 ## Rates
 
 ### Related rates
 
 $${da \over db} \quad \text{(change in } a \text{ with respect to } b)$$
 
-#### Gradient at a point on parametric curve
+### Gradient at a point on parametric curve
 
 $${dy \over dx} = {{dy \over dt} \div {dx \over dt}} \> \vert \> {dx \over dt} \ne 0$$
 
@@ -334,3 +382,19 @@ If $f$ is continuous on $[a, b]$, then
 $$\int^b_a f(x) \> dx = F(b) - F(a)$$
 
 where $F$ is any antiderivative of $f$
+
+## Differential equations
+
+One or more derivatives
+
+**Order** - highest power inside derivative  
+**Degree** - highest power of highest derivative  
+e.g. ${\left(dy^2 \over d^2 x\right)}^3$: order 2, degree 3
+
+### Verifying solutions
+
+Start with $y=\dots$, and differentiate. Substitute into original equation.
+
+### Function of the dependent variable
+
+If ${dy \over dx}=g(y)$, then ${dx \over dy} = 1 \div {dy \over dx} = {1 \over g(y)}$. Integrate both sides to solve equation. Only add $c$ on one side. Express $e^c$ as $A$.