[chem] start organic reactions summary document
[notes.git] / methods / calculus.tex
index 4478faaa9c9f621770eb0938838f4f8d1bc470f0..72b8bdbf1884c89160198dd2f9dba1b836bebe93 100644 (file)
@@ -1,3 +1,7 @@
+\documentclass[methods-collated.tex]{subfiles}
+
+\begin{document}
+
 \section{Calculus}
 
 \subsection*{Average rate of change}
 \subsection*{Limit theorems}
 
 \begin{enumerate}
-\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
-\tightlist
-\item
-  For constant function \(f(x)=k\), \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = k\)
-\item
-  \(\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = F \pm G\)
-\item
-  \(\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \times g(x)) = F \times G\)
-\item
-  \({\lim_{x \rightarrow a} {f(x) \over g(x)}} = {F \over G}, G \ne 0\)
+    \def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
+    \tightlist
+  \item For constant function \(f(x)=k\), \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = k\)
+  \item \(\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = F \pm G\)
+  \item \(\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \times g(x)) = F \times G\)
+  \item \({\lim_{x \rightarrow a} {f(x) \over g(x)}} = {F \over G}, G \ne 0\)
 \end{enumerate}
 
 A function is continuous if \(L^-=L^+=f(x)\) for all values of \(x\).
@@ -39,13 +39,10 @@ A function is continuous if \(L^-=L^+=f(x)\) for all values of \(x\).
 
 Not differentiable at:
 \begin{itemize}
-\tightlist
-\item
-  discontinuous points
-\item
-  sharp point/cusp
-\item
-  vertical tangents (\(\infty\) gradient)
+    \tightlist
+  \item discontinuous points
+  \item sharp point/cusp
+  \item vertical tangents (\(\infty\) gradient)
 \end{itemize}
 
 \subsection*{Tangents \& gradients}
@@ -64,25 +61,20 @@ Not differentiable at:
 For \(x_2\) and \(x_1\) where \(x_2 > x_1\):
 
 \begin{itemize}
-\tightlist
-\item
-  \textbf{strictly increasing}\\ where \(f(x_2) > f(x_1)\) or \(f^\prime(x)>0\)
-\item
-  \textbf{strictly decreasing}\\ where \(f(x_2) < f(x_1)\) or \(f^\prime(x)<0\)
-\item
-  Endpoints are included, even where gradient \(=0\)
+    \tightlist
+  \item \textbf{strictly increasing}\\ where \(f(x_2) > f(x_1)\) or \(f^\prime(x)>0\)
+  \item \textbf{strictly decreasing}\\ where \(f(x_2) < f(x_1)\) or \(f^\prime(x)<0\)
+  \item Endpoints are included, even where gradient \(=0\)
 \end{itemize}
 
-\columnbreak
-
-\subsubsection*{Solving on CAS}
-
-\colorbox{cas}{\textbf{In main}}: type function. Interactive
-\(\rightarrow\) Calculation \(\rightarrow\) Line \(\rightarrow\) (Normal
-\textbar{} Tan line)\\
-\colorbox{cas}{\textbf{In graph}}: define function. Analysis
-\(\rightarrow\) Sketch \(\rightarrow\) (Normal \textbar{} Tan line).
-Type \(x\) value to solve for a point. Return to show equation for line.
+\begin{cas}
+  \colorbox{cas}{\textbf{In main}}: type function. Interactive
+  \(\rightarrow\) Calculation \(\rightarrow\) Line \(\rightarrow\) (Normal
+  \textbar{} Tan line)\\
+  \colorbox{cas}{\textbf{In graph}}: define function. Analysis
+  \(\rightarrow\) Sketch \(\rightarrow\) (Normal \textbar{} Tan line).
+  Type \(x\) value to solve for a point. Return to show equation for line.
+\end{cas}
 
 \subsection*{Stationary points}
 
@@ -91,79 +83,81 @@ Type \(x\) value to solve for a point. Return to show equation for line.
   \textbf{Point of inflection:} && f^{\prime\prime} &= 0
 \end{align*}
 
-                  \begin{tikzpicture}
-                    \begin{axis}[xmin=-21, xmax=21, ymax=1400, ymin=-1000, ticks=none, axis lines=middle]
-                      \addplot[color=red, smooth, thick] gnuplot [domain=-15:15,unbounded coords=jump,samples=500] {x^3-3*x^2-144*x+432} node [black, pos=1, right] {\(f(x)\)};
-                      \addplot[color=darkgray, dashed, smooth, thick] gnuplot [domain=-15:15,unbounded coords=jump,samples=500] {3*x^2-6*x-144} node [black, pos=1, right] {\(f^\prime(x)\)};
-                      \addplot[mark=*, blue] coordinates {(1,286)} node[above right, align=left, font=\footnotesize]{inflection \\ (falling)} ;
-                      \addplot[mark=*, orange] coordinates {(-6,972)} node[above left, align=right, font=\footnotesize]{stationary \\ (local max)} ;
-                      \addplot[mark=*, orange] coordinates {(8,-400)} node[below, align=left, font=\footnotesize]{stationary \\ (local min)} ;
-                    \end{axis}
-                  \end{tikzpicture}\\
-                  \begin{tikzpicture}
-                    \begin{axis}[enlargelimits=true, xmax=3.5, ticks=none, axis lines=middle]
-                      \addplot[color=blue, smooth, thick] gnuplot [domain=0.74:3,unbounded coords=jump,samples=500] {(x-2)^3+2} node [black, pos=0.9, left] {\(f(x)\)};
-                      \addplot[color=darkgray, dashed, smooth, thick] gnuplot [domain=1:3,unbounded coords=jump,samples=500] {3*(x-2)^2} node [black, pos=0.9, right] {\(f^\prime(x)\)};
-                      \addplot[mark=*, purple] coordinates {(2,2)} node[below right, align=left, font=\footnotesize]{stationary \\ inflection} ;
-                    \end{axis}
-                  \end{tikzpicture}\\
-\pagebreak
+\begin{tikzpicture}
+  \begin{axis}[xmin=-21, xmax=21, ymax=1400, ymin=-1000, ticks=none, axis lines=middle]
+    \addplot[color=red, smooth, thick] gnuplot [domain=-15:15,unbounded coords=jump,samples=500] {x^3-3*x^2-144*x+432} node [black, pos=1, right] {\(f(x)\)};
+    \addplot[color=darkgray, dashed, smooth, thick] gnuplot [domain=-15:15,unbounded coords=jump,samples=500] {3*x^2-6*x-144} node [black, pos=1, right] {\(f^\prime(x)\)};
+    \addplot[mark=*, blue] coordinates {(1,286)} node[above right, align=left, font=\footnotesize]{inflection \\ (falling)} ;
+    \addplot[mark=*, orange] coordinates {(-6,972)} node[above left, align=right, font=\footnotesize]{stationary \\ (local max)} ;
+    \addplot[mark=*, orange] coordinates {(8,-400)} node[below, align=left, font=\footnotesize]{stationary \\ (local min)} ;
+  \end{axis}
+\end{tikzpicture}\\
+\begin{tikzpicture}
+  \begin{axis}[enlargelimits=true, xmax=3.5, ticks=none, axis lines=middle]
+    \addplot[color=blue, smooth, thick] gnuplot [domain=0.74:3,unbounded coords=jump,samples=500] {(x-2)^3+2} node [black, pos=0.9, left] {\(f(x)\)};
+    \addplot[color=darkgray, dashed, smooth, thick] gnuplot [domain=1:3,unbounded coords=jump,samples=500] {3*(x-2)^2} node [black, pos=0.9, right] {\(f^\prime(x)\)};
+    \addplot[mark=*, purple] coordinates {(2,2)} node[below right, align=left, font=\footnotesize]{stationary \\ inflection} ;
+  \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
 \subsection*{Derivatives}
 
-\definecolor{shade1}{HTML}{ffffff}
-\definecolor{shade2}{HTML}{F0F9E4}
-\rowcolors{1}{shade1}{shade2}
-                  \renewcommand{\arraystretch}{1.4}
-                  \begin{tabularx}{\columnwidth}{rX}
-                    \hline
-                    \hspace{6em}\(f(x)\) & \(f^\prime(x)\)\\
-                    \hline
-                    \(\sin x\) & \(\cos x\)\\
-                    \(\sin ax\) & \(a\cos ax\)\\
-                    \(\cos x\) & \(-\sin x\)\\
-                    \(\cos ax\) & \(-a \sin ax\)\\
-                    \(\tan f(x)\) & \(f^2(x) \sec^2f(x)\)\\
-                    \(e^x\) & \(e^x\)\\
-                    \(e^{ax}\) & \(ae^{ax}\)\\
-                    \(ax^{nx}\) & \(an \cdot e^{nx}\)\\
-                    \(\log_e x\) & \(\dfrac{1}{x}\)\\
-                    \(\log_e {ax}\) & \(\dfrac{1}{x}\)\\
-                    \(\log_e f(x)\) & \(\dfrac{f^\prime (x)}{f(x)}\)\\
-                    \(\sin(f(x))\) & \(f^\prime(x) \cdot \cos(f(x))\)\\
-                    \(\sin^{-1} x\) & \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\\
-                    \(\cos^{-1} x\) & \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)\\
-                    \(\tan^{-1} x\) & \(\dfrac{1}{1 + x^2}\)\\
-                    \(\frac{d}{dy}f(y)\) & \(\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\) \hfill(reciprocal)\\
-                    \(uv\) & \(u \frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\) \hfill(product rule)\\
-                    \(\dfrac{u}{v}\) & \(\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) \hfill(quotient rule)\\
-                    \(f(g(x))\) & \(f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)\\
-                    \hline
-                  \end{tabularx}
-                  \columnbreak
+\rowcolors{1}{white}{peach}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+
+\begin{tabularx}{\columnwidth}{rX}
+  \hline
+  \hspace{6em}\(f(x)\) & \(f^\prime(x)\)\\
+  \hline
+  \(\sin x\) & \(\cos x\)\\
+  \(\sin ax\) & \(a\cos ax\)\\
+  \(\cos x\) & \(-\sin x\)\\
+  \(\cos ax\) & \(-a \sin ax\)\\
+  \(\tan f(x)\) & \(f^2(x) \sec^2f(x)\)\\
+  \(e^x\) & \(e^x\)\\
+  \(e^{ax}\) & \(ae^{ax}\)\\
+  \(ax^{nx}\) & \(an \cdot e^{nx}\)\\
+  \(\log_e x\) & \(\dfrac{1}{x}\)\\
+  \(\log_e {ax}\) & \(\dfrac{1}{x}\)\\
+  \(\log_e f(x)\) & \(\dfrac{f^\prime (x)}{f(x)}\)\\
+  \(\sin(f(x))\) & \(f^\prime(x) \cdot \cos(f(x))\)\\
+  \(\sin^{-1} x\) & \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\\
+  \(\cos^{-1} x\) & \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)\\
+  \(\tan^{-1} x\) & \(\dfrac{1}{1 + x^2}\)\\
+  \(\frac{d}{dy}f(y)\) & \(\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\) \hfill(reciprocal)\\
+  \(uv\) & \(u \frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\) \hfill(product rule)\\
+  \(\dfrac{u}{v}\) & \(\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) \hfill(quotient rule)\\
+  \(f(g(x))\) & \(f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)\\
+  \hline
+\end{tabularx}
+
 \subsection*{Antiderivatives}
-\rowcolors{1}{shade1}{cas}
-                  \renewcommand{\arraystretch}{1.4}
-                  \begin{tabularx}{\columnwidth}{rX}
-                    \hline
-                    \(f(x)\) & \(\int f(x) \cdot dx\) \\
-                    \hline
-                    \(k\) (constant) & \(kx + c\)\\
-                    \(x^n\) & \(\dfrac{1}{n+1} x^{n+1}\) \\
-                    \(a x^{-n}\) &\(a \cdot \log_e |x| + c\)\\
-                    \(\dfrac{1}{ax+b}\) &\(\dfrac{1}{a} \log_e (ax+b) + c\)\\
-                    \((ax+b)^n\) & \(\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n-1} + c\>|\>n\ne 1\)\\
-                    \((ax+b)^{-1}\) & \(\dfrac{1}{a}\log_e |ax+b|+c\)\\
-                    \(e^{kx}\) & \(\dfrac{1}{k} e^{kx} + c\)\\
-                    \(e^k\) & \(e^kx + c\)\\
-                    \(\sin kx\) & \(\dfrac{-1}{k} \cos (kx) + c\)\\
-                    \(\cos kx\) & \(\dfrac{1}{k} \sin (kx) + c\)\\
-                    \(\sec^2 kx\) & \(\dfrac{1}{k} \tan(kx) + c\)\\
-                    \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) & \(\sin^{-1} \dfrac{x}{a} + c \>\vert\> a>0\)\\
-                    \(\dfrac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) & \(\cos^{-1} \dfrac{x}{a} + c \>\vert\> a>0\)\\
-                    \(\frac{a}{a^2-x^2}\) & \(\tan^{-1} \frac{x}{a} + c\)\\
-                    \(\frac{f^\prime (x)}{f(x)}\) & \(\log_e f(x) + c\)\\
-                    \(\int f(u) \cdot \frac{du}{dx} \cdot dx\) & \(\int f(u) \cdot du\) \hfill(substitution)\\
-                    \(f(x) \cdot g(x)\) & \(\int [f^\prime(x) \cdot g(x)] dx + \int [g^\prime(x) f(x)] dx\)\\
-                    \hline
-                  \end{tabularx}
 
+\rowcolors{1}{white}{lblue}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+
+\begin{tabularx}{\columnwidth}{rX}
+  \hline
+  \(f(x)\) & \(\int f(x) \cdot dx\) \\
+  \hline
+  \(k\) (constant) & \(kx + c\)\\
+  \(x^n\) & \(\dfrac{1}{n+1} x^{n+1}\) \\
+  \(a x^{-n}\) &\(a \cdot \log_e |x| + c\)\\
+  \(\dfrac{1}{ax+b}\) &\(\dfrac{1}{a} \log_e (ax+b) + c\)\\
+  \((ax+b)^n\) & \(\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n-1} + c\>|\>n\ne 1\)\\
+  \((ax+b)^{-1}\) & \(\dfrac{1}{a}\log_e |ax+b|+c\)\\
+  \(e^{kx}\) & \(\dfrac{1}{k} e^{kx} + c\)\\
+  \(e^k\) & \(e^kx + c\)\\
+  \(\sin kx\) & \(\dfrac{-1}{k} \cos (kx) + c\)\\
+  \(\cos kx\) & \(\dfrac{1}{k} \sin (kx) + c\)\\
+  \(\sec^2 kx\) & \(\dfrac{1}{k} \tan(kx) + c\)\\
+  \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) & \(\sin^{-1} \dfrac{x}{a} + c \>\vert\> a>0\)\\
+  \(\dfrac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) & \(\cos^{-1} \dfrac{x}{a} + c \>\vert\> a>0\)\\
+  \(\frac{a}{a^2-x^2}\) & \(\tan^{-1} \frac{x}{a} + c\)\\
+  \(\frac{f^\prime (x)}{f(x)}\) & \(\log_e f(x) + c\)\\
+  \(\int f(u) \cdot \frac{du}{dx} \cdot dx\) & \(\int f(u) \cdot du\) \hfill(substitution)\\
+  \(f(x) \cdot g(x)\) & \(\int [f^\prime(x) \cdot g(x)] dx + \int [g^\prime(x) f(x)] dx\)\\
+  \hline
+\end{tabularx}
+
+\end{document}