[spec] additions to complex graphs and exp identities
[notes.git] / physics / midyear.tex
index 46ae5ab144020570c99bf70aa836970064c51249..d52268657c4de0074723ad074871d31b85cd06b7 100644 (file)
 
 \pagenumbering{gobble}
 \begin{multicols}{3}
+
+% +++++++++++++++++++++++
+
 {\huge Physics}\hfill Andrew Lorimer\hspace{2em}
 
+% +++++++++++++++++++++++
 \section{Motion}
-  \subsection*{Unit conversion}
+
   $\operatorname{m/s} \times 3.6 = \operatorname{km/h}$
 
   \subsection*{Inclined planes}
-  $F = m g \sin\theta - F_{frict} = m a$
+    $F = m g \sin\theta - F_{frict} = m a$
 
+% -----------------------
   \subsection*{Banked tracks}
-  \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/banked-track.png}
-  $\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$ (also for objects on string)
-
-  $\Sigma F$ always acts towards centre, but not necessarily horizontally
 
-  $\Sigma F = {{mv^2} \over r} = mg \tan \theta$
+    \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/banked-track.png}
 
-  Design speed $v = \sqrt{gr\tan\theta}$
+    $$\theta = \tan^{-1} {{v^2} \over rg}$$
 
-  \subsection*{Work and energy}
-  $W=Fx=\Delta \Sigma E$ (work)
+    $\Sigma F$ always acts towards centre, but not necessarily horizontally
 
-  $E_K = {1 \over 2}mv^2$ (kinetic)
+    $\Sigma F = F_{\operatorname{norm}} + F_{\operatorname{g}}={{mv^2} \over r} = mg \tan \theta$
 
-  $E_G = mgh$ (potential)
+    Design speed $v = \sqrt{gr\tan\theta}$
 
-  $\Sigma E = {1 \over 2} mv^2 + mgh$ (energy transfer)
+% -----------------------
+  \subsection*{Work and energy}
 
-  \subsection*{Horizontal motion}
+    $W=Fx=\Delta \Sigma E$ (work)
 
-  $v = {{2 \pi r} \over T}$
+    $E_K = {1 \over 2}mv^2$ (kinetic)
 
-  $f = {1 \over T}, \quad T = {1 \over f}$
+    $E_G = mgh$ (potential)
 
-  $a_{centrip} = {v^2 \over r} = {{4 \pi^2 r} \over T^2}$
+    $\Sigma E = {1 \over 2} mv^2 + mgh$ (energy transfer)
 
-  $\Sigma F$ towards centre, $v$ tangential
+% -----------------------
+  \subsection*{Horizontal circular motion}
 
-  $F_{centrip} = {{mv^2} \over r} = {{4 \pi^2 rm} \over T^2}$
+    $v = {{2 \pi r} \over T}$
 
-  \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/circ-forces.png}
+    $f = {1 \over T}, \quad T = {1 \over f}$
 
-  \subsection*{Vertical circular motion}
-  $T =$ tension, e.g. circular pendulum
+    $a_{centrip} = {v^2 \over r} = {{4 \pi^2 r} \over T^2}$
 
-  $T+mg = {{mv^2}\over r}$ at highest point
-  $T-mg = {{mv^2} \over r}$ at lowest point
+    $\Sigma F, a$ towards centre, $v$ tangential
 
-  \subsection*{Projectile motion}
-  \begin{itemize}
-  \item{horizontal component of velocity is constant if no air resistance}
+    $F_{centrip} = {{mv^2} \over r} = {{4 \pi^2 rm} \over T^2}$
 
-  \item{vertical component affected by gravity: $a_y = -g$}
-\end{itemize}
+    \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/circ-forces.png}
 
-$v=\sqrt{v^2_x + v^2_y}$ (vector addition)
+% -----------------------
+  \subsection*{Vertical circular motion}
 
-$h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g}$ (max height)
+    $T =$ tension, e.g. circular pendulum
 
-$y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2$ (time of flight)
+    $T+mg = {{mv^2}\over r}$ at highest point
 
-$d={v^2 \over g}sin \theta$ (horizontal range)
-  \includegraphics[height=3.2cm]{/mnt/andrew/graphics/projectile-motion.png}
+    $T-mg = {{mv^2} \over r}$ at lowest point
 
+% -----------------------
+  \subsection*{Projectile motion}
+    \begin{itemize}
+      \item{horizontal component of velocity is constant if no air resistance}
+      \item{vertical component affected by gravity: $a_y = -g$}
+    \end{itemize}
+
+    \begin{align*}
+      v=\sqrt{v^2_x + v^2_y} \tag{vectors} \\
+      h={{u^2\sin \theta ^2}\over 2g} \tag{max height}\\
+      x=ut\cos\theta \tag{$\Delta x$ at $t$} \\
+      y=ut \sin \theta-{1 \over 2}gt^2 \tag{height at $t$} \\
+      t={{2u\sin\theta}\over g} \tag{time of flight}\\
+      d={v^2 \over g}\sin \theta \tag{horiz. range} \\
+    \end{align*}
+
+    \includegraphics[height=3.2cm]{/mnt/andrew/graphics/projectile-motion.png}
+
+% -----------------------
   \subsection*{Pulley-mass system}
 
-  $a = {{m_2g} \over {m_1 + m_2}}$ where $m_2$ is suspended
+    $a = {{m_2g} \over {m_1 + m_2}}$ where $m_2$ is suspended
 
-  \subsection*{Graphs}
-  \begin{itemize}
-    \item{Force-time: $A=\Delta \rho$}
-    \item{Force-disp: $A=W$}
-    \item{Force-ext: $m=k,\quad A=E_{spr}$}
-    \item{Force-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe}$}
-    \item{Field-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe} / \operatorname{kg}$}
-  \end{itemize}
+    $\Sigma F = m_2g-m_1g=\Sigma ma$ (solve)
 
+% -----------------------
+  \subsection*{Graphs}
+    \begin{itemize}
+      \item{Force-time: $A=\Delta \rho$}
+      \item{Force-disp: $A=W$}
+      \item{Force-ext: $m=k,\quad A=E_{spr}$}
+      \item{Force-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe}$}
+      \item{Field-dist: $A=\Delta \operatorname{gpe} / \operatorname{kg}$}
+    \end{itemize}
+
+% -----------------------
   \subsection*{Hooke's law}
 
   $F=-kx$
 
   $E_{elastic} = {1 \over 2}kx^2$
 
+% -----------------------
   \subsection*{Motion equations}
 
+    \begin{tabular}{ l r }
+      $v=u+at$ & $x$ \\
+      $x = {1 \over 2}(v+u)t$ & $a$ \\
+      $x=ut+{1 \over 2}at^2$ & $v$ \\
+      $x=vt-{1 \over 2}at^2$ & $u$ \\
+      $v^2=u^2+2ax$ & $t$ \\
+    \end{tabular}
 
-\begin{tabular}{ l r }
-  $v=u+at$ & $x$ \\
-  $x = {1 \over 2}(v+u)t$ & $a$ \\
-  $x=ut+{1 \over 2}at^2$ & $v$ \\
-  $x=vt-{1 \over 2}at^2$ & $u$ \\
-  $v^2=u^2+2ax$ & $t$ \\
-\end{tabular}
+% -----------------------
+  \subsection*{Momentum}
 
-\subsection*{Momentum}
+    $\rho = mv$
 
-$\rho = mv$
+    $\operatorname{impulse} = \Delta \rho, \quad F \Delta t = m \Delta v$
 
-$\operatorname{impulse} = \Delta \rho, \quad F \Delta t = m \Delta v$
+    $\Sigma mv_0=\Sigma mv_1$ (conservation)
 
-Momentum is conserved.
+    $\Sigma E_{K \operatorname{before}} = \Sigma E_{K \operatorname{after}}$ if elastic
 
-$\Sigma E_{K \operatorname{before}} = \Sigma E_{K \operatorname{after}}$ if elastic
+    $n$-body collisions: $\rho$ of each body is independent
 
+% ++++++++++++++++++++++
 \section{Relativity}
 
-\subsection*{Postulates}
-1. Laws of physics are constant in all intertial reference frames
+  \subsection*{Postulates}
+    1. Laws of physics are constant in all intertial reference frames
 
-2. Speed of light $c$ is the same to all observers (Michelson-Morley)
+    2. Speed of light $c$ is the same to all observers (Michelson-Morley)
 
-$\therefore , t$ must dilate as speed changes
+    $\therefore , t$ must dilate as speed changes
 
-{\bf Inertial reference frame} - $a=0$
+    {\bf Inertial reference frame} - $a=0$
 
-{\bf Proper time $t_0$ $\vert$ length $l_0$} - measured by observer in same frame as events
+    {\bf Proper time $t_0$ $\vert$ length $l_0$} - measured by observer in same frame as events
 
-\subsection*{Lorentz factor}
+% -----------------------
+  \subsection*{Lorentz factor}
 
-$$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}$$
+    $$\gamma = {1 \over {\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}}$$
 
-$t=t_0 \gamma$ ($t$ longer in moving frame)
+    $t=t_0 \gamma$ ($t$ longer in moving frame)
 
-$l={l_0 \over \gamma}$ ($l$ contracts $\parallel v$: shorter in moving frame)
+    $l={l_0 \over \gamma}$ ($l$ contracts $\parallel v$: shorter in moving frame)
 
-$m=m_0 \gamma$ (mass dilation)
+    $m=m_0 \gamma$ (mass dilation)
 
-$$v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
+    $$v = c\sqrt{1-{1 \over \gamma^2}}$$
 
-\subsection*{Energy and work}
+% -----------------------
+  \subsection*{Energy and work}
 
-$E_0 = mc^2$ (rest)
+    $E_0 = mc^2$ (rest)
 
-$E_{total} = E_K + E_{rest} = \gamma mc^2$
+    $E_{total} = E_K + E_{rest} = \gamma mc^2$
 
-$E_K = (\gamma - 1)mc^2$
+    $E_K = (\gamma - 1)mc^2$
 
-$W = \Delta E = \Delta mc^2$
+    $W = \Delta E = \Delta mc^2$
 
-\subsection*{Relativistic momentum}
+% -----------------------
+  \subsection*{Relativistic momentum}
 
-$$\rho = {mv \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}= {\gamma mv} = {\gamma \rho_0}$$
+    $$\rho = {mv \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}= {\gamma mv} = {\gamma \rho_0}$$
 
-$\rho \rightarrow \infty$ as $v \rightarrow c$
+    $\rho \rightarrow \infty$ as $v \rightarrow c$
 
-$v=c$ is impossible (requires $E=\infty$)
+    $v=c$ is impossible (requires $E=\infty$)
 
-$$v={\rho \over {m\sqrt{1+{p^2 \over {m^2 c^2}}}}}$$
+    $$v={\rho \over {m\sqrt{1+{p^2 \over {m^2 c^2}}}}}$$
 
-\subsection*{Fusion and fission}
-
-$1 \operatorname{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \operatorname{J}$
-
-e- accelerated with $x$ V is given $x$ eV
-\subsection*{High-altitude muons}
-\begin{itemize}
-  {\item $t$ dilation - more muons reach Earth than expected}
-  {\item normal half-life is $2.2 \operatorname{\mu s}$ in stationary frame}
-  {\item at $v \approx c$, muons observed from Earth have halflife $> 2.2 \operatorname{\mu s}$}
-  {\item slower time - more time to travel, so muons reach surface}
-\end{itemize}
+% -----------------------
+  \subsection*{High-altitude muons}
+    \begin{itemize}
+      {\item $t$ dilation - more muons reach Earth than expected}
+      {\item normal half-life $2.2 \operatorname{\mu s}$ in stationary frame, $> 2.2 \operatorname{\mu s}$ observed from Earth}
+    \end{itemize}
 
+% +++++++++++++++++++++++
 \section{Fields and power}
 
+  \subsection*{Non-contact forces}
+    \begin{itemize}
+      {\item electric fields (dipoles \& monopoles)}
+      {\item magnetic fields (dipoles only)}
+      {\item gravitational fields (monopoles only)}
+    \end{itemize}
+
+    \vspace{1em}
 
-\subsection*{Non-contact forces}
-\begin{itemize}
-  {\item electric fields (dipoles \& monopoles)}
-  {\item magnetic fields (dipoles only)}
-  {\item gravitational fields (monopoles only)}
-\end{itemize}
+    \begin{itemize}
+      \item monopoles: lines towards centre
+      \item dipoles: field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (or perpendicular to wire)
+      \item closer field lines means larger force
+      \item dot: out of page, cross: into page
+      \item +ve corresponds to N pole
+    \end{itemize}
 
-\begin{itemize}
-\item monopoles: field lines radiate towards central object
-\item dipoles - field lines $+ \rightarrow -$ or $\operatorname{N} \rightarrow \operatorname{S}$ (opposite in solenoid)
-\item closer field lines means larger force
-\item dot means out of page, cross means into page
-\end{itemize}
+    \includegraphics[height=2cm]{/mnt/andrew/graphics/field-lines.png}
 
-\subsection*{Gravity}
-\[
-F_g=G{{m_1m_2}\over r^2}\tag{grav. force}
-\]
+% -----------------------
+  \subsection*{Gravity}
 
-\[
-g={F_g \over m}=G{M_{\operatorname{planet}} \over r^2}\tag{grav. acc.}
-\]
+    \[F_g=G{{m_1m_2}\over r^2}\tag{grav. force}\]
+    \[g={F_g \over m_2}=G{m_{1} \over r^2}\tag{field of $m_1$}\]
+    \[E_g = mg \Delta h\tag{gpe}\]
+    \[W = \Delta E_g = Fx\tag{work}\]
+    \[w=m(g-a) \tag{app. weight}\]
 
-\[
-E_g = mg \Delta h\tag{gpe}
-\]
+    % \columnbreak
 
-\[
-W = \Delta E_g = Fx\tag{work}
-\]
+% -----------------------
+  \subsection*{Satellites}
 
-\subsection*{Satellites}
-\[
-v=\sqrt{GM \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}
-\]
+    \[v=\sqrt{Gm_{\operatorname{planet}} \over r} = \sqrt{gr} = {{2 \pi r} \over T}\]
 
-\[
-T={\sqrt{4 \pi^2 r^2} \over {GM}}\tag{period}
-\]
+    \[T={\sqrt{4 \pi^2 r^2} \over {GM}}\tag{period}\]
 
-\[
-\sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}
-\]
+    \[\sqrt[3]{{GMT^2}\over{4\pi^2}}\tag{radius}\]
 
+% -----------------------
+  \subsection*{Magnetic fields}
+    \begin{itemize}
+      \item field strength $B$ measured in tesla
+      \item magnetic flux $\Phi$ measured in weber
+      \item charge $q$ measured in coulombs
+      \item emf $\mathcal{E}$ measured in volts
+    \end{itemize}
 
+    % \[{E_1 \over E_2}={r_1 \over r_2}^2\]
 
-\subsection*{Magnetic fields}
-% \begin{itemize}
-% \item field strength $B$ measured in tesla
-% \item magnetic flux $\Phi$ measured in weber
-% \item charge $q$ measured in coulombs
-% \item emf $\mathcal{E}$ measured in volts
-% \end{itemize}
+    \[F=qvB\tag{$F$ on moving $q$}\]
+    \[F=IlB\tag{$F$ of $B$ on $I$}\]
+    \[r={mv \over qB} \tag{radius of $q$ in $B$}\]
 
-% \[
-% {E_1 \over E_2}={r_1 \over r_2}^2
-% \]
+    if $B {\not \perp} A, \Phi \rightarrow 0$ \hspace{1em}, \hspace{1em} if $B \parallel A, \Phi = 0$
 
-\[
-F=qvB\tag{force on moving charged particles}
-\]
+% -----------------------
+  \subsection*{Electric fields}
 
-if $B {\not \perp} A, \Phi \rightarrow 0$ \hspace{1em}, \hspace{1em} if $B \parallel A, \Phi = 0$
+    \[F=qE \tag{$E$ = strength} \]
+    \[F=k{{q_1q_2}\over r^2}\tag{force between $q_{1,2}$} \]
+    \[E=k{q \over r^2} \tag{field on point charge} \]
+    \[E={V \over d} \tag{field between plates}\]
+    \[F=BInl \tag{force on a coil} \]
+    \[\Phi = B_{\perp}A\tag{magnetic flux} \]
+    \[\mathcal{E} = -N{{\Delta \Phi}\over{\Delta t}} \tag{induced emf} \]
+    \[{V_p \over V_s}={N_p \over N_s}={I_s \over I_p} \tag{xfmr coil ratios} \]
 
+    \textbf{Lenz's law:}  $I_{\operatorname{emf}}$ opposes $\Delta \Phi$
 
-\includegraphics[height=2cm]{/mnt/andrew/graphics/field-lines.png}
+    \textbf{Eddy currents:} counter movement within a field
 
-\subsection*{Electric fields}
+    \textbf{Right hand grip:} thumb points to $I$ (single wire) or N (solenoid / coil)
 
-\begin{align*}
-F=qE \tag{$E$ = strength} \\
-W=q_{\operatorname{point}}\Delta V \tag{in field or points} \\
-F=k{{q_1q_2}\over r^2}\tag{force between $q_{1,2}$} \\
-E=k{Q \over r^2} \tag{$r=||EQ||$} \\
-F=BInl \tag{force on a coil} \\
-\Phi = B_{\perp}A\tag{magnetic flux} \\
-\mathcal{E} = -N{{\Delta \Phi}\over{\Delta t}} \tag{induced emf} \\
-{V_p \over V_s}={N_p \over N_s}={I_s \over I_p} \tag{xfmr coil ratios} \\
-\end{align*}
+    \textbf{Right hand slap:} $B \perp I \perp F$
 
+    \textbf{Flux-time graphs:} $m \times n = \operatorname{emf}$
 
-\textbf{Lenz's law:}  ``$-n$'' in Faraday - emf opposes $\Delta \Phi$
+    \textbf{Transformers:} core strengthens \& focuses $\Phi$
 
-\textbf{Eddy currents:} counter movement within a field
+% -----------------------
+  \subsection*{Particle acceleration}
 
-\textbf{Right hand grip:} thumb points to north or $I$
+    $1 \operatorname{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \operatorname{J}$
 
-\textbf{Right hand slap:} field, current, force are $\perp$
+    e- accelerated with $x$ V is given $x$ eV
 
-\textbf{Flux-time graphs:} gradient $\times n = \operatorname{emf}$
+    \[W={1\over2}mv^2=qV \tag{field or points}\]
+    \[v=\sqrt{{2qV} \over {m}}\tag{velocity of particle}\]
 
-\textbf{Transformers:} core strengthens \& focuses $\Phi$
 
-% \columnbreak
+% -----------------------
+  \subsection*{Power transmission}
 
-\subsection*{Power transmission}
+    % \begin{align*}
+      $$V_{\operatorname{rms}}={V_{\operatorname{p\rightarrow p}}\over \sqrt{2}}$$
+      P_{\operatorname{loss}} = \Delta V I = I^2 R = {{\Delta V^2} \over R} \\
+      V_{\operatorname{loss}}=IR
+    % \end{align*}
 
-\begin{align*}
-  V_{\operatorname{rms}}={V_{\operatorname{p\rightarrow p}}\over \sqrt{2}} \tag
-  P_{\operatorname{loss}} = \Delta V I = I^2 R = {{\Delta V^2} \over R}
-\end{align*}
+    Use high-$V$ side for correct $|V_{drop}|$
 
-\begin{itemize}
-  {\item Parallel - voltage is constant}
-  {\item Series - voltage is shared within branch}
-\end{itemize}
+    \begin{itemize}
+      {\item Parallel - $V$ is constant}
+      {\item Series - $V$ shared within branch}
+    \end{itemize}
 
-\includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/ac-generator.png}
+    \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/ac-generator.png}
 
-\subsection*{Motors}
+% -----------------------
+  \subsection*{Motors}
 % \begin{wrapfigure}{r}{-0.1\textwidth}
 
-\includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/dc-motor-2.png}
-\includegraphics[height=3cm]{/mnt/andrew/graphics/ac-motor.png} \\
+    \includegraphics[height=4cm]{/mnt/andrew/graphics/dc-motor-2.png}
+      \includegraphics[height=3cm]{/mnt/andrew/graphics/ac-motor.png} \\
 % \end{wrapfigure}
-\textbf{DC:} split ring (one ring split into two halves)
+    \textbf{DC:} split ring (two halves)
 
 % \begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
 
 % \end{wrapfigure}
-\textbf{AC:} slip ring (separate rings with constant contact)
+    \textbf{AC:} slip ring (separate rings with constant contact)
 
 
 \end{multicols}