dot products and vector angles
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index 2374b2a845082ae10b1bc91e64671e8f6a0afd27..0b6ea2a591579df2297f0fbb2caefea27642e9e6 100644 (file)
@@ -97,11 +97,16 @@ Produces a real number, not a vector.
 
 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2$$
 
+**on CAS:** `dotP([a b c], [d e f])`
+
 ## Scalar product properties
 
 1. $k(\boldsymbol{a\cdot b})=(k\boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot (k{b})$
 2. $\boldsymbol{a \cdot 0}=0$
 3. $\boldsymbol{a \cdot (b + c)}=\boldsymbol{a \cdot b + a \cdot c}$
+4. $\boldsymbol{i \cdot i} = \boldsymbol{j \cdot j} = \boldsymbol{k \cdot k}= 1$
+5. If $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$, $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$ are perpendicular
+6. $\boldsymbol{a \cdot a} = |\boldsymbol{a}|^2 = a^2$
 
 For parallel vectors $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$:  
 $$\boldsymbol{a \cdot b}=\begin{cases}
@@ -121,8 +126,12 @@ If $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$, then $\boldsymbol{a} \perp \boldsy
 
 ## Finding angle between vectors
 
+**positive direction**
+
 $$\cos \theta = {{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}} \over {|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}} = {{a_1 b_1 + a_2 b_2} \over {|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}}$$
 
+**on CAS:** `angle([a b c], [a b c])` (Action -> Vector -> Angle)
+
 
 ## Vector projections
 
@@ -133,7 +142,7 @@ $$\boldsymbol{u}={{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}\over |\boldsymbol{b}|^2}\b
 ## Vector proofs
 
 **Concurrent lines -** $\ge$ 3 lines intersect at a single point  
-**Collinear points -** $\ge$ 3 points lie on the same line
+**Collinear points -** $\ge$ 3 points lie on the same line ($\implies \vec{OC} = \lambda \vec{OA} + \mu \vec{OB}$ where $\lambda + \mu = 1$. If $C$ is between $\vec{AB}$, then $0 \lt \mu \lt 1$)
 
 Useful vector properties:
 
@@ -142,6 +151,27 @@ Useful vector properties:
 - Two vectors $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$ are perpendicular if $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$
 - $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2$
 
+## Linear dependence
+
+Vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are linearly dependent if they are non-parallel and:
+
+$$k\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c} = 0$$
+$$\therefore \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b} \quad \text{(simultaneous)}$$
+
+$\vec{a}, \vec{b},$ and $\vec{c}$ are linearly independent if no vector in the set is expressible as a linear combination of other vectors in set, or if they are parallel.
+
+Vector $\vec{w}$ is a linear combination of vectors $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$
+
+## Three-dimensional vectors
+
+Right-hand rule for axes - $z$ is up or out of page.
+
+## Angle between vector and axis
+
+Direction of a vector can be given by the angles it makes with $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ directions.
 
+For $\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ which makes angles $\alpha, \beta, \gamma$ with positive direction of $x, y, z$ axes:
+$$\cos \alpha = {a_1 \over |\vec{a}|}, \quad \cos \beta = {a_2 \over |\vec{a}|}, \quad \cos \gamma = {a_3 \over |\vec{a}|}$$
 
+**on CAS:** `angle([a b c], [1 0 0])` for angle between $a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$ and $x$-axis