1<h1 id="complex-imaginary-numbers">Complex & Imaginary Numbers</h1>
2<h2 id="imaginary-numbers">Imaginary numbers</h2>
3<p><span class="math inline"><em>i</em><sup>2</sup> = −1</span></p>
4<p><span class="math inline">$\therefore i = \sqrt {-1}$</span></p>
5<h3 id="simplifying-negative-surds">Simplifying negative surds</h3>
6<p><span class="math inline">$\sqrt{-2} = \sqrt{-1 \times 2}$</span></p>
7<p> <span class="math inline">$= \sqrt{2}i$</span></p>
8<h2 id="complex-numbers">Complex numbers</h2>
9<p><span class="math inline">ℂ = {<em>a</em> + <em>b</em><em>i</em> : <em>a</em>, <em>b</em> ∈ ℝ}</span></p>
10<p>General form: <span class="math inline"><em>z</em> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> - <span class="math inline">Re(<em>z</em>)=<em>a</em></span> - <span class="math inline">Im(<em>z</em>)=<em>b</em></span></p>
11<h3 id="addition">Addition</h3>
12<p>If <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> and <span class="math inline"><em>z</em><sub>2</sub> = <em>c</em> + <em>d</em><em>i</em></span>, then</p>
13<p> <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> + <em>z</em><sub>2</sub> = (<em>a</em> + <em>c</em>)+(<em>b</em> + <em>d</em>)<em>i</em></span></p>
14<h3 id="subtraction">Subtraction</h3>
15<p>If <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> and <span class="math inline"><em>z</em><sub>2</sub> = <em>c</em> + <em>d</em><em>i</em></span>, then</p>
16<p> <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> − <em>z</em><sub>2</sub> = (<em>a</em> − <em>c</em>)+(<em>b</em> − <em>d</em>)<em>i</em></span></p>
17<h3 id="multiplication-by-a-real-constant">Multiplication by a real constant</h3>
18<p>If <span class="math inline"><em>z</em> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> and <span class="math inline"><em>k</em> ∈ ℝ</span>, then</p>
19<p> <span class="math inline"><em>k</em><em>z</em> = <em>k</em><em>a</em> + <em>k</em><em>b</em><em>i</em></span></p>
20<h3 id="powers-of-i">Powers of <span class="math inline"><em>i</em></span></h3>
21<p><span class="math inline"><em>i</em><sup>0</sup> = 1</span> <span class="math inline"><em>i</em><sup>1</sup> = <em>i</em></span> <span class="math inline"><em>i</em><sup>2</sup> = −1</span> <span class="math inline"><em>i</em><sup>3</sup> = −<em>i</em></span> <span class="math inline"><em>i</em><sup>4</sup> = 1</span> <span class="math inline">…</span></p>
22<p>Therefore.. - <span class="math inline"><em>i</em><sup>4<em>n</em></sup> = 1</span> - <span class="math inline"><em>i</em><sup>4<em>n</em> + 1</sup> = <em>i</em></span> - <span class="math inline"><em>i</em><sup>4<em>n</em> + 2</sup> = −1</span> - <span class="math inline"><em>i</em><sup>4<em>n</em> + 3</sup> = −<em>i</em></span></p>
23<h3 id="multiplying-complex-expressions">Multiplying complex expressions</h3>
24<p>If <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> and <span class="math inline"><em>z</em><sub>2</sub> = <em>c</em> + <em>d</em><em>i</em></span>, then <span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub> × <em>z</em><sub>2</sub> = (<em>a</em><em>c</em> − <em>b</em><em>d</em>)+(<em>a</em><em>d</em> + <em>b</em><em>c</em>)<em>i</em></span></p>
25<h3 id="conjugates">Conjugates</h3>
26<p>If <span class="math inline"><em>z</em> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span>, conjugate of <span class="math inline"><em>z</em></span> is <span class="math inline">$\overline{z} = a-bi$</span> (flipped operator)</p>
27<p>Also, <span class="math inline">$z \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$</span></p>
28<ul>
29<li>Multiplication and addition are associative</li>
30</ul>
31<h3 id="modulus">Modulus</h3>
32<p>Distance from origin. <span class="math inline">$|{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$</span></p>
33<p><span class="math inline">$\therefore z \overline{z} = |z|^2$</span></p>
34<h3 id="multiplicative-inverse">Multiplicative inverse</h3>
35<p><span class="math inline">$z^{-1} = {1 \over z} = {{a-bi} \over {a^2+B^2}} = {\overline{z} \over {|z|^2}}$</span></p>
36<h3 id="dividing-complex-numbers">Dividing complex numbers</h3>
37<p><span class="math inline">${{z_1} \over {z_2}} = {{z_1\ {z_2}^{-1}}} = {{z_1 \overline{z_2}} \over {{|z_2|}^2}}$</span></p>
38<p>(using multiplicative inverse)</p>
39<p>In practice, rationalise denominator: <span class="math inline">${z_1 \over z_2} = {{(a+bi)(c-di)} \over {c^2+d^2}}$</span></p>
40<h2 id="argand-planes">Argand planes</h2>
41<ul>
42<li>Geometric representation of <span class="math inline">ℂ</span></li>
43<li>Horizontal <span class="math inline">=Re(<em>z</em>)</span>; vertical <span class="math inline">=Im(<em>z</em>)</span></li>
44<li>Multiplication by <span class="math inline"><em>i</em></span> results in an anticlockwise rotation of <span class="math inline">$\pi \over 2$</span></li>
45</ul>
46<h2 id="solving-complex-quadratics">Solving complex quadratics</h2>
47<p>To solve <span class="math inline"><em>z</em><sup>2</sup> + <em>a</em><sup>2</sup> = 0</span> (sum of two squares):</p>
48<p><span class="math inline"><em>z</em><sup>2</sup> + <em>a</em><sup>2</sup> = <em>z</em><sup>2</sup> − (<em>a</em><em>i</em>)<sup>2</sup></span> <span class="math inline">=(<em>z</em> + <em>a</em><em>i</em>)(<em>z</em> − <em>a</em><em>i</em>)</span></p>
49<h2 id="polar-form">Polar form</h2>
50<p>General form: <span class="math inline"><em>z</em> = <em>r</em>cis<em>θ</em></span> <span class="math inline">=<em>r</em>cos<em>θ</em> + <em>r</em>sin<em>θ</em><em>i</em></span></p>
51<p>where - <span class="math inline"><em>z</em> = <em>a</em> + <em>b</em><em>i</em></span> - <span class="math inline"><em>r</em></span> is the distance from origin, given by Pythagoras (<span class="math inline">$r=\sqrt{x^2+y^2}$</span>) - <span class="math inline"><em>θ</em></span> is the argument of <span class="math inline"><em>z</em></span>, CCW from origin</p>
52<p>Note each complex number has multiple polar representations: <span class="math inline"><em>z</em> = <em>r</em>cis<em>θ</em> = <em>r</em>cis(<em>θ</em> + 2<em>n</em><em>π</em></span>) where <span class="math inline"><em>n</em></span> is integer number of revolutions</p>
53<h3 id="multiplication-and-division-in-polar-form">Multiplication and division in polar form</h3>
54<p><span class="math inline"><em>z</em><sub>1</sub><em>z</em><sub>2</sub> = <em>r</em><sub>1</sub><em>r</em><sub>2</sub>cis(<em>θ</em><sub>1</sub> + <em>θ</em><sub>2</sub>)</span> (multiply moduli, add angles)</p>
55<p><span class="math inline">${z_1 \over z_2} = {r_1 \over r_2} \operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)$</span> (divide moduli, subtract angles)</p>
56<h2 id="de-moivres-theorum">de Moivres' Theorum</h2>
57<p><span class="math inline">(<em>r</em>cis<em>θ</em>)<sup><em>n</em></sup> = <em>r</em><sup><em>n</em></sup>cis(<em>n</em><em>θ</em>)</span></p>